Determine R>0 de modo que \int_{C} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} d s=1 onde C é o círculo de centro O e raio R orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O que o problema pede: determinar R>0 tal que
\int_{C} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,d s = 1,
onde C é o círculo de centro O e raio R orientado no sentido anti-horário.
Informações dadas:
  • C é o círculo de centro O (origem) e raio R.
  • A orientação é anti-horária (mas vamos ver que, por usar d s, a orientação não altera o valor).
  • A função a integrar é \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • A medida de integração é d s, o elemento de comprimento de arco.
  • Queremos encontrar R>0 que satisfaça a igualdade acima.

Passo 2

Parametrização do círculo: como C é o círculo centrado na origem de raio R e a orientação é anti-horária, uma parametrização natural é
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)) = \big(R\cos t,\;R\sin t\big),\qquad t\in[0,2\pi].
Aqui x(t)=R\cos t e y(t)=R\sin t. Essa parametrização percorre todo o círculo uma vez no sentido anti-horário, que é o pedido.
Explicação sobre d s: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), o elemento de comprimento é
d s = \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor (velocidade) e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana.

Passo 3

Calcule \mathbf{r}'(t) e \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert:
\mathbf{r}'(t) = (-R\sin t,\;R\cos t).
A norma é
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert = \sqrt{(-R\sin t)^{2}+(R\cos t)^{2}} = \sqrt{R^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)} = \sqrt{R^{2}} = R,
porque \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 e R>0. Logo
d s = R\,dt.
Observação sobre orientação: d s é sempre positivo, portanto a orientação (anti-horária) não altera o valor da integral escalar com d s.

Passo 4

Substituição do parâmetro na função integranda:
\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \Big|_{x=R\cos t,\;y=R\sin t} = \frac{(R\cos t)^{2}}{(R\cos t)^{2}+(R\sin t)^{2}} = \frac{R^{2}\cos^{2}t}{R^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)} = \cos^{2}t.
Portanto o integrando vezes d s vira \cos^{2}t\cdot R\,dt, e a integral sobre C passa a ser a integral em t:
\int_{C} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,d s = \int_{0}^{2\pi} R\cos^{2}t\,dt.

Passo 5

Calcule a integral de \cos^{2}t. Use a identidade trigonométrica
\cos^{2}t = \frac{1+\cos(2t)}{2},
que vem da fórmula de duplicação do cosseno. Assim
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}t\,dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 1\,dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\,dt.
A primeira integral é \dfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi. A segunda integral é zero porque \cos(2t) tem média zero em um período inteiro:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\,dt = 0.
Logo
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}t\,dt = \pi.
Multiplicando por R obtemos
\int_{C} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,d s = R\pi.

Passo 6

Agora imponha a condição do enunciado: R\pi = 1. Resolva para R:
R = \frac{1}{\pi}.
Isso é positivo, como exigido ( R>0).

Resposta

R=\dfrac{1}{\pi}

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