Determine
de modo que
onde
é o círculo de centro O e raio R orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
O que o problema pede: determinar
tal que
onde
é o círculo de centro
e raio
orientado no sentido anti-horário.
Informações dadas:
-
é o círculo de centro (origem) e raio . - A orientação é anti-horária (mas vamos ver que, por usar
, a orientação não altera o valor). - A função a integrar é
. - A medida de integração é
, o elemento de comprimento de arco. - Queremos encontrar
que satisfaça a igualdade acima.
Passo 2
Parametrização do círculo: como
é o círculo centrado na origem de raio
e a orientação é anti-horária, uma parametrização natural é
Aqui
e
. Essa parametrização percorre todo o círculo uma vez no sentido anti-horário, que é o pedido.
Explicação sobre
: para uma curva parametrizada por
, o elemento de comprimento é
onde
é a derivada vetor (velocidade) e
é a norma euclidiana.
Passo 3
Calcule
e
:
A norma é
porque
e
. Logo
Observação sobre orientação:
é sempre positivo, portanto a orientação (anti-horária) não altera o valor da integral escalar com
.
Passo 4
Substituição do parâmetro na função integranda:
Portanto o integrando vezes
vira
, e a integral sobre
passa a ser a integral em
:
Passo 5
Calcule a integral de
. Use a identidade trigonométrica
que vem da fórmula de duplicação do cosseno. Assim
A primeira integral é
. A segunda integral é zero porque
tem média zero em um período inteiro:
Logo
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Agora imponha a condição do enunciado:
. Resolva para
:
Isso é positivo, como exigido (
).