Simplifique as frações algébricas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas e objetivo:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Queremos fatorar e cancelar fatores comuns para obter a forma mais simples possível, lembrando que quando cancelamos um fator estamos implicitamente excluindo as raízes desse fator do domínio da expressão original (vou anotar essas restrições ao final).
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o máximo comum no numerador. Todos os termos do numerador têm fator
. Então coloco
em evidência:
Vou chamar o polinômio dentro do parêntese de
, isto é,
Passo 3
Procuro fatorar
. Note a separação natural entre as primeiras três parcelas e as últimas três:
e
Isso é uma dica clássica: os dois blocos compartilham o mesmo polinômio
. Então fatoramos por agrupamento:
Explicação didática rápida: agrupar termos é tentar escrever o polinômio como soma de dois termos que tenham um fator comum; aqui isso apareceu imediatamente.
Passo 4
Agora fatoramos
. Isso é uma diferença de quadrados, pois
e
. A fórmula da diferença de quadrados é
Aplicando com
e
,
Portanto até aqui o numerador fica
Passo 5
Fatoro agora o polinômio quadrático
. As raízes desse polinômio são dadas pela fórmula quadrática:
Como
, obtemos
Logo as raízes são
e
, e o quadrático se fatoriza como
Comentário didático: quando um polinômio com coeficientes racionais tem uma raiz irracional do tipo
, sua conjugada
também é raiz, e o produto dos dois fatores dá um quadrático com coeficientes racionais — aqui esse quadrático é exatamente
.
Passo 6
Reescrevo o numerador usando todas as fatorações encontradas:
O denominador original é
Observação:
. Então o denominador é
Passo 7
Agora cancelo fatores comuns entre numerador e denominador (lembrando que cancelar equivale a dividir ambos por esse fator, o que é válido desde que o fator não seja zero — ou seja, devemos lembrar das exclusões de domínio):
- Cancelo o fator
. - Cancelo o fator
(há um sinal negativo no denominador que vou tratar).
Após cancelar, resta
O
do denominador apenas muda o sinal. Portanto a forma simplificada é
Passo 8
Comentário sobre domínio (importante para provas): a expressão original não está definida quando qualquer fator do denominador for zero, isto é, quando
As soluções são
(ou
) e
. Essas são raízes que devem ser excluídas do domínio da expressão original; na resposta simplificada elas podem não aparecer mais explicitamente, mas continuam sendo pontos proibidos.