Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{4 x^{7}+16 x^{6}-24 x^{5}-x^{3}-4 x^{2}+6 x}{\left(2 x^{2}-1\right)(-x-2-\sqrt{10})}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{4 x^{7}+16 x^{6}-24 x^{5}-x^{3}-4 x^{2}+6 x}{\left(2 x^{2}-1\right)(-x-2-\sqrt{10})}.
Informações dadas e objetivo:
  • Numerador: 4 x^{7}+16 x^{6}-24 x^{5}-x^{3}-4 x^{2}+6 x.
  • Denominador: \left(2 x^{2}-1\right)(-x-2-\sqrt{10}).
  • Queremos fatorar e cancelar fatores comuns para obter a forma mais simples possível, lembrando que quando cancelamos um fator estamos implicitamente excluindo as raízes desse fator do domínio da expressão original (vou anotar essas restrições ao final).

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o máximo comum no numerador. Todos os termos do numerador têm fator x. Então coloco x em evidência:
4 x^{7}+16 x^{6}-24 x^{5}-x^{3}-4 x^{2}+6 x = x\bigl(4x^{6}+16x^{5}-24x^{4}-x^{2}-4x+6\bigr).
Vou chamar o polinômio dentro do parêntese de P(x), isto é,
P(x)=4x^{6}+16x^{5}-24x^{4}-x^{2}-4x+6.

Passo 3

Procuro fatorar P(x). Note a separação natural entre as primeiras três parcelas e as últimas três:
4x^{6}+16x^{5}-24x^{4} = 4x^{4}\bigl(x^{2}+4x-6\bigr)
e
- x^{2}-4x+6 = -\bigl(x^{2}+4x-6\bigr).
Isso é uma dica clássica: os dois blocos compartilham o mesmo polinômio x^{2}+4x-6. Então fatoramos por agrupamento:
P(x)=4x^{4}\bigl(x^{2}+4x-6\bigr) - 1\cdot\bigl(x^{2}+4x-6\bigr) = \bigl(x^{2}+4x-6\bigr)\bigl(4x^{4}-1\bigr).
Explicação didática rápida: agrupar termos é tentar escrever o polinômio como soma de dois termos que tenham um fator comum; aqui isso apareceu imediatamente.

Passo 4

Agora fatoramos 4x^{4}-1. Isso é uma diferença de quadrados, pois 4x^{4} = (2x^{2})^{2} e 1 = 1^{2}. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=2x^{2} e b=1,
4x^{4}-1 = (2x^{2}-1)(2x^{2}+1).
Portanto até aqui o numerador fica
\text{numerador} = x\bigl(x^{2}+4x-6\bigr)\bigl(2x^{2}-1\bigr)\bigl(2x^{2}+1\bigr).

Passo 5

Fatoro agora o polinômio quadrático x^{2}+4x-6. As raízes desse polinômio são dadas pela fórmula quadrática:
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot(-6)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2}.
Como \sqrt{40} = 2\sqrt{10}, obtemos
x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}.
Logo as raízes são x=-2+\sqrt{10} e x=-2-\sqrt{10}, e o quadrático se fatoriza como
x^{2}+4x-6 = (x+2+\sqrt{10})(x+2-\sqrt{10}).
Comentário didático: quando um polinômio com coeficientes racionais tem uma raiz irracional do tipo a+\sqrt{b}, sua conjugada a-\sqrt{b} também é raiz, e o produto dos dois fatores dá um quadrático com coeficientes racionais — aqui esse quadrático é exatamente x^{2}+4x-6.

Passo 6

Reescrevo o numerador usando todas as fatorações encontradas:
\text{numerador} = x\,(x+2+\sqrt{10})\,(x+2-\sqrt{10})\,(2x^{2}-1)\,(2x^{2}+1).
O denominador original é
\left(2 x^{2}-1\right)(-x-2-\sqrt{10}).
Observação: -x-2-\sqrt{10} = -(x+2+\sqrt{10}). Então o denominador é
\text{denominador} = (2x^{2}-1)\cdot\bigl(-(x+2+\sqrt{10})\bigr) = - (2x^{2}-1)(x+2+\sqrt{10}).

Passo 7

Agora cancelo fatores comuns entre numerador e denominador (lembrando que cancelar equivale a dividir ambos por esse fator, o que é válido desde que o fator não seja zero — ou seja, devemos lembrar das exclusões de domínio):
  • Cancelo o fator (2x^{2}-1).
  • Cancelo o fator (x+2+\sqrt{10}) (há um sinal negativo no denominador que vou tratar).
Após cancelar, resta
\frac{x\,(x+2-\sqrt{10})\,(2x^{2}+1)}{-1}.
O -1 do denominador apenas muda o sinal. Portanto a forma simplificada é
-\,x\,(x+2-\sqrt{10})\,(2x^{2}+1).

Passo 8

Comentário sobre domínio (importante para provas): a expressão original não está definida quando qualquer fator do denominador for zero, isto é, quando
2x^{2}-1=0 \quad\text{ou}\quad -x-2-\sqrt{10}=0.
As soluções são x = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}} (ou x=\pm \tfrac{\sqrt{2}}{2}) e x = -2-\sqrt{10}. Essas são raízes que devem ser excluídas do domínio da expressão original; na resposta simplificada elas podem não aparecer mais explicitamente, mas continuam sendo pontos proibidos.

Resposta

-x\,(x+2-\sqrt{10})\,(2x^{2}+1)

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