Simplifique as frações algébricas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica abaixo, ou seja, escrever numa forma equivalente mais simples:
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. O objetivo é fatorar e cancelar fatores comuns quando possível, tomando cuidado com valores de
que tornam o denominador zero.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador. Reconhecemos que
é uma diferença de quadrados, pois
e
. A fórmula da diferença de quadrados é
onde
e
são expressões quaisquer. Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
Explico: o termo
vem de
e
vem de
.
Passo 3
Agora fatoramos o denominador
. Primeiro identificamos o máximo divisor comum entre os coeficientes
e
, que é
. Também há um fator comum
(pois ambos os termos têm
). Então
Detalhe: expandindo
obtemos
, então a fatoração está correta.
Passo 4
Substituímos as fatorações na fração original:
Passo 5
Observamos que o fator
aparece no numerador e no denominador. Pelo princípio de simplificação de frações algébricas, podemos cancelar fatores iguais desde que eles não sejam zero (não podemos dividir por zero). Cancelando
obtemos a expressão simplificada
Expliquei: cancelar um fator significa dividir numerador e denominador por esse fator; isso preserva a equivalência desde que o fator não seja zero.
Passo 6
Precisamos mencionar as restrições de domínio impostas pelo denominador original: o denominador não pode ser zero. Como
, impondo
obtemos as exclusões
Portanto a igualdade entre a forma fatorada simplificada e a original vale apenas para
diferentes de
e de
.
Passo 7
Verificamos se a fração
pode ser simplificada ainda mais. O numerador
não tem fator comum com
(não há fator
inteiro no numerador nem divisor comum não trivial entre
e
que valha para todos
), então não há mais simplificação algébrica possível. Assim a forma final é
com as restrições já indicadas.