Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{4 x^{2}-9}{24 x^{2}-36 x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica abaixo, ou seja, escrever numa forma equivalente mais simples:
\frac{4x^{2}-9}{24x^{2}-36x}
Informações dadas: o numerador é \,4x^{2}-9 e o denominador é \,24x^{2}-36x. O objetivo é fatorar e cancelar fatores comuns quando possível, tomando cuidado com valores de x que tornam o denominador zero.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador. Reconhecemos que \,4x^{2}-9 é uma diferença de quadrados, pois \,(2x)^{2}=4x^{2} e \,3^{2}=9. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são expressões quaisquer. Aqui a=2x e b=3. Aplicando a fórmula:
4x^{2}-9=(2x-3)(2x+3).
Explico: o termo 2x-3 vem de a-b e 2x+3 vem de a+b.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador \,24x^{2}-36x. Primeiro identificamos o máximo divisor comum entre os coeficientes 24 e 36, que é 12. Também há um fator comum x (pois ambos os termos têm x). Então
24x^{2}-36x=12x(2x-3).
Detalhe: expandindo 12x(2x-3) obtemos 24x^{2}-36x, então a fatoração está correta.

Passo 4

Substituímos as fatorações na fração original:
\frac{4x^{2}-9}{24x^{2}-36x}=\frac{(2x-3)(2x+3)}{12x(2x-3)}.

Passo 5

Observamos que o fator (2x-3) aparece no numerador e no denominador. Pelo princípio de simplificação de frações algébricas, podemos cancelar fatores iguais desde que eles não sejam zero (não podemos dividir por zero). Cancelando (2x-3) obtemos a expressão simplificada
\frac{2x+3}{12x}.
Expliquei: cancelar um fator significa dividir numerador e denominador por esse fator; isso preserva a equivalência desde que o fator não seja zero.

Passo 6

Precisamos mencionar as restrições de domínio impostas pelo denominador original: o denominador não pode ser zero. Como \,24x^{2}-36x=12x(2x-3), impondo 12x(2x-3)\neq0 obtemos as exclusões
x\neq 0 \quad\text{e}\quad x\neq \frac{3}{2}.
Portanto a igualdade entre a forma fatorada simplificada e a original vale apenas para x diferentes de 0 e de \frac{3}{2}.

Passo 7

Verificamos se a fração \frac{2x+3}{12x} pode ser simplificada ainda mais. O numerador 2x+3 não tem fator comum com 12x (não há fator x inteiro no numerador nem divisor comum não trivial entre 2x+3 e 12 que valha para todos x), então não há mais simplificação algébrica possível. Assim a forma final é \frac{2x+3}{12x} com as restrições já indicadas.

Resposta

\dfrac{2x+3}{12x}, com x\neq 0 e x\neq \dfrac{3}{2}

Exercícios relacionados