Calcule:
\left.\int \cos ^{2} 2 x\right) d x.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \cos^{2}(2x)\,dx.
O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas e usaremos a identidade de redução de potência.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}.
No nosso caso, \theta = 2x, logo
\cos^{2}(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}.

Passo 3

Substituímos na integral:
\int \cos^{2}(2x)\,dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx \;+\; \frac{1}{2}\int \cos(4x)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\frac{1}{2}\int 1\,dx = \frac{1}{2}x,
\frac{1}{2}\int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(4x)}{4} = \frac{\sin(4x)}{8}.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \cos^{2}(2x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C

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