Calcule:
\left.\int \sqrt{x}+\frac{1}{x}+\log _{5} x\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\sqrt{x} + \frac{1}{x} + \log_{5}x\Bigr)\,dx.
Aqui vamos usar três ideias de integração:
  1. potência de x,
  2. integral de 1/x,
  3. mudança de base para o logaritmo e a integral de \ln x.

Passo 2

Integral de \sqrt{x}=x^{1/2}. Usamos a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Com n=\tfrac12,
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 3

Integral de \tfrac{1}{x}. Sabemos que
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Integral de \log_{5}x. Primeiro mudamos de base:
\log_{5}x = \frac{\ln x}{\ln 5}.
Logo
\int \log_{5}x\,dx = \frac{1}{\ln 5}\,\int \ln x\,dx.
E usamos a fórmula
\int \ln x\,dx = x\ln x - x.
Assim
\int \log_{5}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 5}.

Passo 5

Somando todas as partes, a integral pedida é
\int\Bigl(\sqrt{x} + \frac{1}{x} + \log_{5}x\Bigr)\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2} + \ln\lvert x\rvert + \frac{x\ln x - x}{\ln 5} + C.

Resposta

\frac{2}{3}\,x^{3/2} + \ln\lvert x\rvert + \frac{x\ln x - x}{\ln 5} + C.

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