Resolva o problema de valor inicial dado.
((3 y{2}-t{2})/y^{5}) dy/dt+t/2 y^{4}=0,
y(1)=1)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{3y^2 - t^2}{y^5}\,\frac{dy}{dt} \;+\;\frac{t}{2y^4}=0, \qquad y(1)=1.
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem, e vamos tratar escrevendo na forma diferencial exata
M(t,y)\,dt + N(t,y)\,dy = 0.

Passo 2

Reescrevendo
\frac{3y^2 - t^2}{y^5}\,dy + \frac{t}{2y^4}\,dt = 0,
então identificamos
M(t,y) = \frac{t}{2y^4}, \qquad N(t,y) = \frac{3y^2 - t^2}{y^5}.
Verificamos a exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{t}{2y^4}\Bigr) = -\frac{2t}{y^5}, \qquad \frac{\partial N}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{3y^2 - t^2}{y^5}\Bigr) = -\frac{2t}{y^5},
logo \partial M/\partial y = \partial N/\partial t e a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe \Psi(t,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial t} = M(t,y), \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N(t,y).
Integramos M em relação a t:
\Psi(t,y) = \int \frac{t}{2y^4}\,dt + h(y) = \frac{t^2}{4y^4} + h(y).
Agora obrigamos \partial\Psi/\partial y = N:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{t^2}{4y^4} + h(y)\Bigr) = -\frac{t^2}{y^5} + h'(y) \;\overset{!}{=}\; \frac{3y^2 - t^2}{y^5}.
Isto dá
-\frac{t^2}{y^5} + h'(y) = \frac{3y^2 - t^2}{y^5} \;\Longrightarrow\; h'(y) = \frac{3y^2}{y^5} = 3y^{-3}.
Integramos em y:
h(y) = \int 3y^{-3}\,dy = -\frac{3}{2y^2}.
Assim a função potencial é
\Psi(t,y) = \frac{t^2}{4y^4} - \frac{3}{2y^2}.
A solução implícita geral é
\Psi(t,y) = C, \quad\text{isto é}\quad \frac{t^2}{4y^4} - \frac{3}{2y^2} = C.é

Passo 4

Impondo y(1)=1, temos
\frac{1^2}{4\cdot1^4} - \frac{3}{2\cdot1^2} = C \;\Longrightarrow\; \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = C \;\Longrightarrow\; C = -\frac{5}{4}.
Logo a relação implícita fica
\frac{t^2}{4y^4} - \frac{3}{2y^2} = -\frac{5}{4}.

Passo 5

Multiplicando por 4y^4:
t^2 - 6y^2 = -5y^4 \;\Longrightarrow\; 5y^4 - 6y^2 + t^2 = 0.
Faça z = y^2. A equação em z é
5z^2 - 6z + t^2 = 0,
cuja solução é
z = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20t^2}}{10}.
Como y(1)=1>0, escolhemos o sinal “ +” para ter z(1)=1. Assim
y^2 = \frac{6 + \sqrt{36 - 20t^2}}{10},
e finalmente, tomando a raiz positiva,
y(t) = \sqrt{\frac{6 + \sqrt{36 - 20t^2}}{10}}.

Resposta

\displaystyle y(t) = \sqrt{\frac{6 + \sqrt{36 - 20\,t^2}}{10}},
satisfazendo y(1)=1.

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