Resolva o problema de valor inicial dado.
((3 y{2}-t{2})/y^{5}) dy/dt+t/2 y^{4}=0,
y(1)=1)
((3 y{2}-t{2})/y^{5}) dy/dt+t/2 y^{4}=0,
y(1)=1)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem, e vamos tratar escrevendo na forma diferencial exata
Passo 2
Reescrevendo
então identificamos
Verificamos a exatidão:
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Agora obrigamos
:
Isto dá
Integramos em
:
Assim a função potencial é
A solução implícita geral é
Passo 4
Impondo
, temos
Logo a relação implícita fica
Passo 5
Multiplicando por
:
Faça
. A equação em
é
cuja solução é
Como
, escolhemos o sinal “
” para ter
. Assim
e finalmente, tomando a raiz positiva,
Resposta
satisfazendo
.