Resolva o problema de valor inicial dado.
((1/(1+y^{2})+cos x-2 x y) dy/dx=y(y+sen x), y(0)=1)
((1/(1+y^{2})+cos x-2 x y) dy/dx=y(y+sen x), y(0)=1)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
O conteúdo é equações exatas. Vamos reescrever no formato
e verificar se é exata.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por
e passando o termo de
para
, obtemos
Logo
Calculamos
que são iguais. Então a equação é exata.
Passo 3
Existe uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
(tratando
como constante),
Derivando em
e igualando a
,
Assim
e a solução implícita geral é
Passo 4
Usando
para achar a constante
:
em ,
dá
em
Logo
.
Resposta
A solução implícita que satisfaz a condição inicial é