Resolva o problema de valor inicial dado.
((1/(1+y^{2})+cos x-2 x y) dy/dx=y(y+sen x), y(0)=1)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
\Bigl(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\Bigr)\frac{dy}{dx}=y\bigl(y+\sin x\bigr),\quad y(0)=1.
O conteúdo é equações exatas. Vamos reescrever no formato
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
e verificar se é exata.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dx e passando o termo de dy/dx para dx, obtemos
-y\bigl(y+\sin x\bigr)\,dx+\Bigl(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\Bigr)\,dy=0.
Logo
M(x,y)=-y(y+\sin x)=-y^{2}-y\sin x, \quad N(x,y)=\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=-2y-\sin x, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=-\sin x-2y,
que são iguais. Então a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N.
Integrando M em relação a x (tratando y como constante),
\Psi(x,y)=\int(-y^{2}-y\sin x)\,dx =-xy^{2}+y\cos x+h(y).
Derivando em y e igualando a N,
\frac{\partial\Psi}{\partial y}=-2xy+\cos x+h'(y) \stackrel!=\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy \;\Longrightarrow\; h'(y)=\frac{1}{1+y^{2}}.
Assim
h(y)=\arctan y+C_{0},
e a solução implícita geral é
\Psi(x,y)=-xy^{2}+y\cos x+\arctan y=C.

Passo 4

Usando y(0)=1 para achar a constante C:
em x=0, y=1
-0\cdot1^{2}+1\cdot\cos0+\arctan1 =1+\frac{\pi}{4}.
Logo C=1+\tfrac{\pi}{4}.

Resposta

A solução implícita que satisfaz a condição inicial é
-\,x\,y^{2}+y\cos x+\arctan y =1+\frac{\pi}{4}.

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