Calcule:
\left.\int x e^{x}+1\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \bigl(xe^{x} + 1\bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da integral (podemos separar em duas integrais) e, para \int xe^{x}dx, a técnica de integração por partes.

Passo 2

Separemos a integral em duas parcelas:
\int \bigl(xe^{x} + 1\bigr)\,dx = \int xe^{x}\,dx \;+\; \int 1\,dx.
Primeiro, vamos resolver \int xe^{x}\,dx por partes.

Passo 3

Aplicando integração por partes em \int xe^{x}\,dx, escolhemos
u = x,\quad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = dx,\quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Pela fórmula \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int xe^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} + C_{1}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda integral:
\int 1\,dx = x + C_{2}.

Passo 5

Somando os resultados e juntando as constantes de integração em uma só ( C=C_{1}+C_{2}), obtemos
\int \bigl(xe^{x} + 1\bigr)\,dx = \bigl(xe^{x} - e^{x}\bigr) + x + C.

Resposta

\boxed{xe^{x} - e^{x} + x + C.}

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