Calcule as derivadas primeira e segunda de:
f(t)=\operatorname{sen} t^{2}+2 t+1 ).

Passo 1

O enunciado nos dá f(t)=\sin(t^2)+2t+1 e pede as derivadas primeira e segunda dessa função. O conteúdo principal envolve a regra da soma (para derivar termo a termo), a regra da cadeia (para \sin(t^2)) e, em f'', também a regra do produto.

Passo 2

Para obter f'(t) derivamos cada termo separadamente.
A derivada de \sin(t^2) usa a regra da cadeia: definindo u=t^2, temos
\frac{d}{dt}\sin(u)=\cos(u)\,\frac{du}{dt}=\cos(t^2)\cdot2t.
As derivadas de 2t e de 1 são 2 e 0, respectivamente. Logo,
f'(t)=2t\cos(t^2)+2.

Passo 3

Para calcular f''(t) derivamos
f'(t)=2t\cos(t^2)+2.
No termo 2t\cos(t^2) aplicamos a regra do produto:
  1. Derivada de 2t é 2, multiplicada por \cos(t^2).
  2. Mais 2t vezes a derivada de \cos(t^2), que é -\sin(t^2)\cdot2t (regra da cadeia).
    Assim,
f''(t)=2\cos(t^2)+2t\bigl(-2t\sin(t^2)\bigr) =2\cos(t^2)-4t^2\sin(t^2).

Resposta

f'(t)=2t\cos(t^2)+2
f''(t)=2\cos(t^2)-4t^2\sin(t^2)

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