Calcule as derivadas primeira e segunda de:
\left.f(x)=\ln \operatorname{sen}^{2} x\right)\;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas primeira e segunda de
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{sen}^2 x\bigr).
O conteúdo principal aqui é uso da regra da cadeia e da derivada do logaritmo natural, além de identidades trigonométricas para simplificar o resultado.

Passo 2

Para simplificar a expressão, use que
\ln\bigl(\operatorname{sen}^2 x\bigr)=2\,\ln\bigl|\operatorname{sen} x\bigr|.
Isso não altera a derivação, pois a derivada de \ln|u| é u'/u.

Passo 3

Calcule a derivada de
\displaystyle f(x)=2\,\ln\!\bigl|\operatorname{sen} x\bigr|.
Como \dfrac{d}{dx}\ln|u|=u'/u e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x, temos
f'(x) =2\;\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} =2\cot x.

Passo 4

Agora derive f'(x)=2\cot x. Sabendo que \dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x, obtemos
f''(x) =2\;\bigl(-\csc^2 x\bigr) =-2\csc^2 x.

Resposta

f'(x)=2\cot x
f''(x)=-2\csc^2 x

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