Calcule:
\left[\frac{3 \times\left(\frac{-3}{4}\right)^{-2}+6 \times\left(\frac{3^{-1}}{4}\right)-4}{7 \times \frac{-3}{4}+2}\right]^{-1}+4=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de
\left[\frac{3 \times\left(\frac{-3}{4}\right)^{-2}+6 \times\left(\frac{3^{-1}}{4}\right)-4}{7 \times \frac{-3}{4}+2}\right]^{-1}+4.
Informações e o que será obtido:
  • Temos potências com expoente negativo (por exemplo \left(\frac{-3}{4}\right)^{-2} e 3^{-1}).
  • Temos produtos, soma/subtração e uma fração grande cujo resultado será elevado a -1 (ou seja, invertido).
  • Ao final, soma-se 4 ao resultado da potência (-1).
    A partir daqui vou simplificar cada parte passo a passo, explicando as regras que uso.

Passo 2

Relembrando regras úteis (curta “aula” prática):
  • Para qualquer número não nulo a e inteiro n, vale a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Isto significa que expoente negativo inverte a base e o torna positivo no expoente.
  • Para potência de fração: \left(\dfrac{p}{q}\right)^{n}=\dfrac{p^{n}}{q^{n}}.
  • Para multiplicação e soma de frações, usamos denominadores comuns para somar/subtrair.
    Vou aplicar essas regras nas expressões do numerador e do denominador.

Passo 3

Calcular a primeira parcela do numerador:
3 \times\left(\frac{-3}{4}\right)^{-2}.
Usando \left(\dfrac{-3}{4}\right)^{-2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{-3}{4}\right)^{2}} e \left(\dfrac{-3}{4}\right)^{2}=\dfrac{(-3)^{2}}{4^{2}}=\dfrac{9}{16}, temos
\left(\frac{-3}{4}\right)^{-2}=\frac{1}{9/16}=\frac{16}{9}.
Portanto
3 \times\left(\frac{-3}{4}\right)^{-2}=3\times\frac{16}{9}=\frac{48}{9}.
Simplificando o fator comum 3: \dfrac{48}{9}=\dfrac{16}{3}.

Passo 4

Calcular a segunda parcela do numerador:
6 \times\left(\frac{3^{-1}}{4}\right).
Primeiro 3^{-1}=\dfrac{1}{3} (pelo mesmo motivo: expoente -1 inverte). Então
\frac{3^{-1}}{4}=\frac{1/3}{4}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.
Logo
6\times\frac{1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Somar as parcelas do numerador e subtrair 4:
As parcelas calculadas são \dfrac{16}{3} e \dfrac{1}{2}. Então o numerador é
\frac{16}{3}+\frac{1}{2}-4.
Para somar, uso denominador comum 6:
\frac{16}{3}=\frac{32}{6},\qquad \frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad 4=\frac{24}{6}.
Portanto
\frac{32}{6}+\frac{3}{6}-\frac{24}{6}=\frac{32+3-24}{6}=\frac{11}{6}.

Passo 6

Calcular o denominador da grande fração:
7 \times \frac{-3}{4}+2.
Multiplicando:
7\times\frac{-3}{4}=\frac{-21}{4}.
Somando 2 (que é \dfrac{8}{4}):
\frac{-21}{4}+2=\frac{-21}{4}+\frac{8}{4}=\frac{-13}{4}.

Passo 7

Agora formar a grande fração (numerador dividido pelo denominador):
\frac{\dfrac{11}{6}}{\dfrac{-13}{4}}=\frac{11}{6}\times\frac{4}{-13}.
Multiplicando numeradores e denominadores:
\frac{11\cdot 4}{6\cdot(-13)}=\frac{44}{-78}.
Simplificando dividindo por 2:
\frac{44}{-78}=\frac{22}{-39}=-\frac{22}{39}.

Passo 8

Aplicar o expoente -1 à grande fração (isto é, inverter o número):
Para qualquer número não nulo x, x^{-1}=\dfrac{1}{x}. Assim
\left(-\frac{22}{39}\right)^{-1}=-\frac{39}{22}.
(Observe que a inversão troca numerador por denominador e mantém o sinal negativo.)

Passo 9

Finalmente somar 4 ao resultado invertido:
-\frac{39}{22}+4.
Escrevendo 4 com denominador 22: 4=\dfrac{88}{22}. Então
-\frac{39}{22}+\frac{88}{22}=\frac{-39+88}{22}=\frac{49}{22}.
Esse é o valor numérico obtido após todas as operações.

Resposta

\dfrac{49}{22}

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