Calcule:
\frac{\left[\frac{\left(2^{2}\right)^{2}+3^{2}}{2^{2} \times 3^{2}}\right]^{-\frac{1}{2}} \times\left[0,5+(3)^{-1}\right]}{\left(\frac{1}{2+3}\right)^{\frac{-1}{2}}+\frac{(2)^{\frac{1}{2}}}{2-3}}=

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar exatamente as partes da expressão para não nos perder):
  • A expressão completa é
\frac{\left[\frac{\left(2^{2}\right)^{2}+3^{2}}{2^{2}\times 3^{2}}\right]^{-\frac{1}{2}}\times\left[0,5+(3)^{-1}\right]}{\left(\frac{1}{2+3}\right)^{-\frac{1}{2}}+\frac{(2)^{\frac{1}{2}}}{2-3}} .
  • No numerador há dois fatores principais:
    1. \left[\dfrac{\left(2^{2}\right)^{2}+3^{2}}{2^{2}\times 3^{2}}\right]^{-\frac{1}{2}}.
    2. \left[0,5+(3)^{-1}\right].
  • No denominador há duas parcelas somadas:
    1. \left(\dfrac{1}{2+3}\right)^{-\frac{1}{2}}.
    2. \dfrac{(2)^{\frac{1}{2}}}{2-3}.
Agora vamos simplificar passo a passo cada parte e depois montar o resultado final.

Passo 2

Simplificar \left(2^{2}\right)^{2} e 3^{2}.
  • Regra usada: \bigl(a^{b}\bigr)^{c}=a^{b\cdot c}. Aqui \left(2^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2}=2^{4}.
  • Calculemos: 2^{4}=16,\qquad 3^{2}=9.
  • Portanto o numerador interno da fração fica 16+9=25.

Passo 3

Calcular o denominador interno 2^{2}\times 3^{2} e a fração interna.
  • Temos 2^{2}=4,\qquad 3^{2}=9,\qquad 4\times 9=36.
  • A fração interna é \frac{25}{36}.

Passo 4

Avaliar o expoente -\tfrac{1}{2} aplicado à fração \dfrac{25}{36}.
  • Regra usada para expoentes racionais: a^{-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{a^{\tfrac{1}{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\tfrac{1}{2}}. Outra forma útil: a^{-\tfrac{1}{2}}=(a^{-1})^{\tfrac{1}{2}}=(a^{\tfrac{1}{2}})^{-1}.
  • Aplicando à nossa fração: \left(\frac{25}{36}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{36}{25}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}.

Passo 5

Calcular \left[0,5+(3)^{-1}\right].
  • Interpretando 0,5 como 0{,}5=\dfrac{1}{2}.
  • Regra: 3^{-1}=\dfrac{1}{3}.
  • Soma: 0{,}5+(3)^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 6

Multiplicar os dois fatores do numerador: \dfrac{6}{5}\times\dfrac{5}{6}.
  • Observação prática: podemos cancelar fatores iguais no numerador e denominador antes de multiplicar: \frac{6}{5}\times\frac{5}{6}=1.
  • Portanto o numerador inteiro da expressão vale 1.
(Ufa — ficou bonito: numerador = 1. Agora o denominador.)

Passo 7

Calcular a primeira parcela do denominador: \left(\dfrac{1}{2+3}\right)^{-\frac{1}{2}}.
  • Primeiro 2+3=5, logo é \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-\frac{1}{2}}.
  • Usando a mesma regra de expoente racional: \left(\frac{1}{5}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{5}{1}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}.

Passo 8

Calcular a segunda parcela do denominador: \dfrac{(2)^{\frac{1}{2}}}{2-3}.
  • Primeiro 2-3=-1.
  • Temos (2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}.
  • Então \frac{(2)^{\frac{1}{2}}}{2-3}=\frac{\sqrt{2}}{-1}=-\sqrt{2}.

Passo 9

Somar as duas parcelas do denominador e montar a fração total.
  • Denominador: \sqrt{5}+(-\sqrt{2})=\sqrt{5}-\sqrt{2}.
  • A expressão total então é \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}.

Passo 10

Racionalizar o denominador (opção comum para deixar a resposta “arrumada”).
  • Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{5}+\sqrt{2}: \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}.
  • Calcule o denominador resultante: (\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=5-2=3.
  • Portanto a forma racionalizada é \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}

Exercícios relacionados