Calcule
lim h 0 1h integral2^2+h raiz5+t^2 d t
Ache o valor médio da função no intervalo:
a) 2 x^2-3 x [-1,2]

Passo 1

Temos dois problemas envolvendo cálculo integral: primeiro, determinar o limite limhto01hintegral2^2+hraiz5+t^2,dt; segundo, achar o valor médio da função f(x)=2x^2-3x no intervalo [-1,2]. Para isso usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e a definição de valor médio de função.

Passo 2

Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que para uma função contínua f vale
limhto01hintegrala^a+hf(t),dt = f(a)
Aqui f(t)=raiz5+t^2 e a=2, logo
limhto01hintegral2^2+hraiz5+t^2,dt = raiz5+2^2 = raiz9 = 3

Passo 3

Para o valor médio de f(x)=2x^2-3x em [-1,2] usamos
1b-aintegrala^bf(x),dx,
onde a=-1, b=2. Logo
12-(-1)integral-1^2(2x^2-3x),dx = 13integral-1^2(2x^2-3x),dx
Uma antiderivada é
F(x)=23x^3 - 32x^2
Avaliando de -1 a 2 temos
F(2)-F(-1) = l(163-6r)-l(-23-32r)=32
Portanto o valor médio é
13cdot32=12

Resposta

O limite vale 3 e o valor médio é tfrac12.

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