Calcule
c) integral0^pi / 2 raizcos theta sen theta d theta
d) integral x cosh x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais: c) integral0^pi/2 raizcostheta,sintheta,dtheta e d) integral xcosh x,dx. A parte c) é uma integral definida em que vamos usar substituição de variáveis e a parte d) é uma integral indefinida que se resolve por integração por partes.

Passo 2

Para a parte c), vamos usar a técnica de substituição. A ideia é definir uma nova variável que torne o integrando mais simples. Aqui escolhemos u=costheta, então du=-sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=cos0=1; quando theta=pi/2, u=cos(pi/2)=0. Substituindo na integral, temos:
integral0^pi/2 raizcostheta,sintheta,dtheta = integral1^0 raizu ;(-du) = integral0^1 u^1/2,du

Passo 3

Agora basta usar a regra da potência para integrar u^1/2. Sabemos que integral u^n,du=tfracu^n+1n+1. Então:
integral0^1 u^1/2,du = [u^3/23/2]0^1 = 23l(1^3/2-0^3/2r) = 23

Passo 4

Passando para a parte d), que é integral xcosh x,dx, usamos integração por partes. A fórmula é integral u,dv = u v - integral v,du. Aqui tomamos u=x (cuja derivada é simples) e dv=cosh x,dx. Assim:
u=x, dv=cosh x,dx Longrightarrow du=dx, v=sinh x

Passo 5

Aplicando a fórmula de partes obtemos:
integral xcosh x,dx = xsinh x - integral sinh x,dx
Como integral sinh x,dx=cosh x, ficamos com
xsinh x - cosh x + C

Resposta

c) tfrac23
d) xsinh x - cosh x + C

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