Seja
uma função dada por
. Determine o conjunto imagem da função.
Passo 1
O enunciado pede para achar o conjunto imagem de f definida por f(x) = 2 + √(x² + 1). O conteúdo é estudo de funções reais e imagem, e vamos usar propriedades da raiz quadrada para determinar os valores que f assume.
Passo 2
Para começar, note que dentro da raiz temos x² + 1. Como x² ≥ 0 para todo x ∈ ℝ, temos x² + 1 ≥ 1. Dessa forma, o termo √(x² + 1) satisfaz √(x² + 1) ≥ √1 = 1.
Isso implica que f(x) = 2 + √(x² + 1) ≥ 2 + 1 = 3. Assim, f(x) nunca assume valores menores que 3.
Isso implica que f(x) = 2 + √(x² + 1) ≥ 2 + 1 = 3. Assim, f(x) nunca assume valores menores que 3.
Passo 3
Agora vejamos se todos os valores maiores ou iguais a 3 realmente ocorrem. Quando x = 0, temos √(0² + 1) = 1 e f(0) = 3, então o valor mínimo 3 é atingido. À medida que |x| cresce, √(x² + 1) cresce sem limite, logo f(x) → ∞ quando x → ±∞.
Portanto, o conjunto imagem de f é todos os números reais maiores ou iguais a 3.
Portanto, o conjunto imagem de f é todos os números reais maiores ou iguais a 3.
Resposta
[3, ∞)