(2,0) Calcule lim (x, y) (0,0)(x^4+y^4+x^2+y^2+2 x^2 y^2x^2+y^2)^1 /(x^2+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, lim (x, y) (0,0)(x^4+y^4+x^2+y^2+2 x^2 y^2x^2+y^2)^1x^2+y^2 e , que estão se aproximando de . O que a gente tem aqui é:
Vamos precisar usar conceitos de limites em múltiplas variáveis e também transformar as coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Olha só o numerador:
x^4 + y^4 + x^2 + y^2 + 2x^2y^2
E o denominador é x^4x^2+y^2 + y^4x^2+y^2 + x^2x^2+y^2 + y^2x^2+y^2 + 2x^2y^2x^2+y^2 . Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
x^4 + y^4 + x^2 + y^2 + 2x^2y^2x^2+y^2 = x^2 + y^2 + 1
Simplificando cada fração, obtemos:

Passo 3

Agora, a expressão dentro do limite ficou mais simples:
(x^2 + y^2 + 1)^1x^2+y^2
Para resolver esse limite quando tende a , é útil mudar para coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares, e , onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo x^2 + y^2 = r^2 e (r^2 + 1)^1r^2 por limr to 0 (1 + r^2)^1r^2 e na expressão, temos:
E a expressão dentro do limite fica:
Agora, nosso limite é:

Passo 5

Sabemos de cálculo que:
lima to 0 (1 + a)^1a = e
Aqui, limr to 0 (1 + r^2)^1r^2 = e , que também tende a 0 quando tende a 0. Aplicando essa propriedade:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados