Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, que estão se aproximando de
. O que a gente tem aqui é:
Vamos precisar usar conceitos de limites em múltiplas variáveis e também transformar as coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Olha só o numerador:
E o denominador é
. Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Simplificando cada fração, obtemos:
Passo 3
Agora, a expressão dentro do limite ficou mais simples:
Para resolver esse limite quando
tende a
, é útil mudar para coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares,
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
por
e
na expressão, temos:
E a expressão dentro do limite fica:
Agora, nosso limite é:
Passo 5
Sabemos de cálculo que:
Aqui,
, que também tende a 0 quando
tende a 0. Aplicando essa propriedade:
Resposta
O limite é
.