Calcule:
(a) lim x 3^+ 53-x
(d) lim x 12^+ 42 x-1
(g) lim x 0^+ sen xx^3-x^2
(b) lim x 3^- 4x-3
(e) lim x 0^- x-3x^2
(h) lim x 0^+ cos xx^3-x^2
(c) lim x 0^- 1x
(f) lim x 3^+ x^2-3 xx^2-6 x+9
(i) lim x 0^+ x^7+8 x^44 x^5+3 x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites laterais de funções racionais e trigonométricas. Vamos usar análise de sinal e comportamento de assíntota (denominador tendendo a zero) e, quando apropriado, aproximações para pequenos x (como sin xapprox x, cos xapprox1).

Passo 2

Para (a) limxto3^+53-x: quando x>3, 3-x<0 e |3-x|to0, logo o quociente é negativo com módulo indo a +infty. Portanto
limxto3^+53-x=-infty

Passo 3

Para (b) limxto3^-4x-3: quando x<3, x-3<0 e |x-3|to0, então o quociente é negativo com módulo indo a +infty. Assim
limxto3^-4x-3=-infty

Passo 4

Para (c) limxto0^-1x: quando xto0 pela esquerda, x<0 e |x|to0, logo 1xto-infty. Portanto
limxto0^-1x=-infty

Passo 5

Para (d) limxto12^+42x-1: quando x>tfrac12, 2x-1>0 e tende a 0^+, logo o quociente é positivo e vai a +infty. Assim
limxto12^+42x-1=+infty

Passo 6

Para (e) limxto0^-x-3x^2: escrevendo x-3x^2=-3+(x)x^2, quando xto0^- o numerador tende a -3 e o denominador a 0^+, gerando quociente -infty. Logo
limxto0^-x-3x^2=-infty

Passo 7

Para (f) limxto3^+x^2-3xx^2-6x+9: fatoramos
x^2-3xx^2-6x+9 =x(x-3)(x-3)^2 =xx-3
Quando xto3^+, x-3to0^+ e xto3>0, então xx-3to+infty. Assim
limxto3^+x^2-3xx^2-6x+9=+infty

Passo 8

Para (g) limxto0^+sin xx^3-x^2: escrevemos x^3-x^2=x^2(x-1). Para x pequeno positivo, sin xapprox x>0, x^2>0 e x-1<0, logo o denominador é negativo com módulo x^2, de modo que
sin xx^3-x^2approxx-x^2=-1xto-infty
Portanto
limxto0^+sin xx^3-x^2=-infty

Passo 9

Para (h) limxto0^+cos xx^3-x^2: como antes x^3-x^2=x^2(x-1)<0 e cos xto1>0, temos
cos xx^3-x^2approx1-x^2to-infty
Logo
limxto0^+cos xx^3-x^2=-infty

Passo 10

Para (i) limxto0^+x^7+8x^44x^5+3x^3: fatoramos a menor potência em cima e embaixo:
x^7+8x^44x^5+3x^3 =x^4(x^3+8)x^3(4x^2+3) =x,x^3+84x^2+3
Quando xto0^+, isso tende a 0cdot83=0. Então
limxto0^+x^7+8x^44x^5+3x^3=0

Resposta

(a) -infty
(b) -infty
(c) -infty
(d) +infty
(e) -infty
(f) +infty
(g) -infty
(h) -infty
(i) 0

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