Exercício 12. (Apostol seção 13.14 exercício 1, 3 e 7)
a) Se
e
são dois eventos com probabilidades não nulas, mostre que
b) Se
e
são eventos tais que
, mostre que
c) Se
são eventos tais que
, mostre que
d) Se
, mostre que
a) Se
Passo 1
O enunciado envolve propriedades de probabilidade condicional. Precisamos usar a definição
sempre que os denominadores não sejam zero, e a regra da união de dois eventos
Passo 2
Parte (a): como
, pela definição de probabilidade condicional temos
De modo análogo, como
,
Assim mostramos
Passo 3
Parte (b): escrevemos
Em seguida aplicamos o resultado de (a) em
:
logo
Passo 4
Parte (c): generalizamos por indução. Para
eventos temos
Pelo passo de indução,
de onde se chega ao produto desejado.
Passo 5
Parte (d): usando definição de condicional e a regra da união,
Pela fórmula de união,
Dividindo tudo por
dá
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)