Exercício 12. (Apostol seção 13.14 exercício 1, 3 e 7)
a) Se A e B são dois eventos com probabilidades não nulas, mostre que
P(A cap B)=P(B) P(A mid B)=P(A) P(B mid A)
b) Se A1, A2 e A3 são eventos tais que P(A1 cap A2) neq 0, mostre que
P(A1 cap A2 cap A3)=P(A1) P(A2 mid A1) P(A3 mid A1 cap A2)
c) Se A1, A2, ldots An são eventos tais que P(A1 cap A2 cap ldots cap An-1) neq 0, mostre que
P(A1 cap ldots cap An)=P(A1) P(A2 mid A1) P(A3 mid A1 cap A2) ldots P(An mid A1 cap A2 cap ldots cap An-1)
d) Se P(C) neq 0, mostre que P(A cup B mid C)=P(A mid C)+P(B mid C)-P(A cap B mid C)

Passo 1

O enunciado envolve propriedades de probabilidade condicional. Precisamos usar a definição
P(Amid B)=P(Acap B)P(B), P(Bmid A)=P(Acap B)P(A)
sempre que os denominadores não sejam zero, e a regra da união de dois eventos
P(Xcup Y)=P(X)+P(Y)-P(Xcap Y)

Passo 2

Parte (a): como P(B)neq0, pela definição de probabilidade condicional temos
P(Amid B)=P(Acap B)P(B) Longrightarrow P(Acap B)=P(B),P(Amid B)
De modo análogo, como P(A)neq0,
P(Bmid A)=P(Acap B)P(A) Longrightarrow P(Acap B)=P(A),P(Bmid A)
Assim mostramos
P(Acap B)=P(B),P(Amid B)=P(A),P(Bmid A)

Passo 3

Parte (b): escrevemos
P(A1cap A2cap A3) =Pl((A1cap A2)cap A3r) =P(A1cap A2);Pl(A3mid A1cap A2r)
Em seguida aplicamos o resultado de (a) em P(A1cap A2):
P(A1cap A2)=P(A1),P(A2mid A1),
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P(A1cap A2cap A3) =P(A1),P(A2mid A1),Pl(A3mid A1cap A2r)

Passo 4

Parte (c): generalizamos por indução. Para n eventos temos
P(A1capcdotscap An) =Pl((A1capcdotscap An-1)cap Anr) =P(A1capcdotscap An-1);Pl(Anmid A1capcdotscap An-1r)
Pelo passo de indução,
P(A1capcdotscap An-1) =P(A1),P(A2mid A1),P(A3mid A1cap A2)cdots Pl(An-1mid A1capcdotscap An-2r),
de onde se chega ao produto desejado.

Passo 5

Parte (d): usando definição de condicional e a regra da união,
P(Acup Bmid C) =Pl((Acup B)cap Cr)P(C) =Pl((Acap C)cup(Bcap C)r)P(C)
Pela fórmula de união,
Pl((Acap C)cup(Bcap C)r) =P(Acap C)+P(Bcap C)-P(Acap Bcap C)
Dividindo tudo por P(C)
P(Acup Bmid C) =P(Amid C)+P(Bmid C)-P(Acap Bmid C)

Resposta

a) P(Acap B)=P(B),P(Amid B)=P(A),P(Bmid A)
b) P(A1cap A2cap A3)=P(A1),P(A2mid A1),P(A3mid A1cap A2)
c) P(A1capcdotscap An)=P(A1),P(A2mid A1),P(A3mid A1cap A2)cdots Pl(Anmid A1capcdotscap An-1r)
d) P(Acup Bmid C)=P(Amid C)+P(Bmid C)-P(Acap Bmid C)

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