Exercício 13. (Apostol seção 13.14 exercício 4) Um comitê de 50 senadores entre um total de 100 senadores é escolhido. Do total de 100 senadores, 2 são do Alasca. Qual é a probabilidade de que os dois senadores do Alasca estejam na comissão, dado que ao menos um está incluído?

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos aleatoriamente uma comissão de 50 senadores dentre 100, e que entre esses 100 há exatamente 2 senadores do Alasca. Queremos a probabilidade de os dois senadores do Alasca estarem na comissão, sabendo que ao menos um deles está incluído. O conteúdo é de probabilidade condicional e distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Modelamos o número X de senadores do Alasca na comissão como variável hipergeométrica com parâmetros total N=100, sucessos na população K=2, e tamanho da amostra n=50. Assim
P(X=0)=binom20,binom9850binom10050 =binom9850binom10050

Passo 3

De modo análogo,
P(X=2) =binom22,binom9848binom10050 =binom9848binom10050

Passo 4

A probabilidade condicional procurada é
Pl(X=2mid X>=1r) =P(X=2)1-P(X=0) = binom9848binom10050 1-binom9850binom10050 =binom9848binom10050-binom9850

Passo 5

Para simplificar, note que binom9848=binom9850 e que
binom10050 =binom9848,100cdot9950cdot49 =binom9848,99002450 =binom9848,14949
Logo
binom10050-binom9850 =binom9848l(14949-1r) =binom9848,10049,
e assim
Pl(X=2mid X>=1r) =binom9848binom9848,10049 =49100 div 1 =49149

Resposta

49149

Exercícios relacionados