Calcule lim x 1 f(x)2, caso exista. Se não existir, justifique:
f(x)= x^2-1x-1 & se x<1 0 & se x=1 cos (x-1)x2 & se x>1

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto1f(x)2, onde
f(x)=x^2-1x-1,&x<10,&x=1cos(x-1)x/2,&x>1
Vamos usar simplificação algébrica e propriedades de limite.

Passo 2

Para a aproximação pela esquerda ( xto1^-), note que para x<1 temos
f(x)=x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1
Como xto1^-, então f(x)to1+1=2. Logo
limxto1^-f(x)2=22=1

Passo 3

Para a aproximação pela direita ( xto1^+), para x>1 vale
f(x)=cos(x-1)x/2
Quando xto1^+, o numerador cos(x-1)tocos0=1 e o denominador x/2to1/2. Então
f(x)to11/2=2
e
limxto1^+f(x)2=22=1

Passo 4

Como ambos os lados dão o mesmo resultado, o limite existe e vale 1. Não importa o valor de f(1) para o limite, apenas os lados chegam a 1.

Resposta

1

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