Calcule os limites. Use preferencialmente o limite fundamental lim x 0 sen(x)x=1.
lim x 0 raiz1-cos (x)x

Passo 1

Queremos calcular o limite
limxto0raiz1-cos(x)x
O conteúdo principal envolve limites de funções trigonométricas e o limite fundamental
limxto0sin(x)x=1, além da identidade trigonométrica 1-cos(x)=2sin^2l(x2r).

Passo 2

Aplicamos a identidade
1-cos(x)=2sin^2l(x2r)
Logo
raiz1-cos(x)=raiz2sin^2l(tfracx2r)=raiz2,l|sin(tfracx2)r|

Passo 3

Substituindo no limite, obtém-se
raiz1-cos(x)x=raiz2,l|sin(tfracx2)r|x
Agora usamos o limite fundamental para sin(tfracx2)/(x/2).

Passo 4

Para x>0, temos |sin(tfracx2)|=sin(tfracx2) e
raiz2,sin(tfracx2)x =raiz2cdotsin(tfracx2)tfracx2cdot12xrightarrow[xto0]raiz22

Passo 5

Para x<0, tem-se |sin(tfracx2)|=-sin(tfracx2) e, de modo análogo,
raiz2,(-sin(tfracx2))xxrightarrow[xto0]-raiz22

Passo 6

Como o limite lateral à direita é tfracraiz22 e à esquerda é -tfracraiz22, os limites não coincidem e o limite bilateral não existe.

Resposta

Não existe, pois o limite lateral direito é tfracraiz22 e o esquerdo é -tfracraiz22.

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