Calcule \lim \frac{\ln n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}.
As informações dadas são:
  • A expressão envolve o logaritmo natural \ln n e o inteiro n que tende a infinito.
  • A pergunta é qual é o valor do limite quando n cresce sem limite.

Passo 2

A estratégia escolhida é transformar o problema num limite de função real e aplicar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital (versão usada) diz que: se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis para x grande e
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty
e existir o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)},
então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Comentário didático: a regra serve quando temos uma indeterminação do tipo \infty/\infty; ela diz que, sob condições técnicas, o comportamento assintótico da razão é o mesmo que o da razão das derivadas — isto é muito útil quando a derivada simplifica a expressão.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital ao caso contínuo: considere a função
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x\to\infty.
Verificações:
  • \lim_{x\to\infty}\ln x=\infty e \lim_{x\to\infty}x=\infty, então temos a indeterminação \infty/\infty.
  • As funções são diferenciáveis para x>0.
Calcule as derivadas:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

Passo 4

Justificando a passagem de x real para n inteiro: a sequência a_n=\dfrac{\ln n}{n} é simplesmente a restrição da função f(x)=\dfrac{\ln x}{x} aos inteiros positivos. Se \lim_{x\to\infty}f(x)=0, então também \lim_{n\to\infty}a_n=0. Portanto o limite pedido vale 0.
Intuição extra (útil para prova sem cálculo): o denominador n cresce muito mais rápido do que \ln n. Mesmo para n gigantescos, \ln n aumenta muito devagar; por isso a razão tende a zero. Exemplo numérico rápido: para n=10^{6} tem‑se \ln n\approx 13{,}8 e \dfrac{\ln n}{n}\approx 1{,}38\times 10^{-5}, já muito pequeno.

Resposta

0

Exercícios relacionados