Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
As informações dadas são:
- A expressão envolve o logaritmo natural
e o inteiro que tende a infinito. - A pergunta é qual é o valor do limite quando
cresce sem limite.
Passo 2
A estratégia escolhida é transformar o problema num limite de função real e aplicar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital (versão usada) diz que: se
e
são funções diferenciáveis para
grande e
e existir o limite
então
Comentário didático: a regra serve quando temos uma indeterminação do tipo
; ela diz que, sob condições técnicas, o comportamento assintótico da razão é o mesmo que o da razão das derivadas — isto é muito útil quando a derivada simplifica a expressão.
Passo 3
Aplicando a Regra de L’Hôpital ao caso contínuo: considere a função
Verificações:
-
e , então temos a indeterminação . - As funções são diferenciáveis para
.
Calcule as derivadas:
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 4
Justificando a passagem de
real para
inteiro: a sequência
é simplesmente a restrição da função
aos inteiros positivos. Se
, então também
. Portanto o limite pedido vale
.
Intuição extra (útil para prova sem cálculo): o denominador
cresce muito mais rápido do que
. Mesmo para
gigantescos,
aumenta muito devagar; por isso a razão tende a zero. Exemplo numérico rápido: para
tem‑se
e
, já muito pequeno.
Resposta
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