Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
{ }{4} \int{0}^{\pi / 4} \operatorname{sen}(4 x) d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral indefinida de \operatorname{sen}(4x), ou seja encontrar uma primitiva \displaystyle \int \operatorname{sen}(4x)\,dx.
  • Usar essa primitiva para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sen}(4x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}(4x).
  • O intervalo para a integral definida é de x=0 até x=\pi/4.

Passo 2

Conceito importante (o que vamos usar): se F(x) é primitiva de f(x), então \displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C. Para a função seno composta \operatorname{sen}(ax) existe uma fórmula padrão:
\int \operatorname{sen}(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax)+C.
Por que isso é verdade? Porque a derivada de \cos(ax) em relação a x é -a\sin(ax) (regra da cadeia). Assim, derivando -\dfrac{1}{a}\cos(ax) obtém-se \sin(ax). Essa é a verificação direta da primitividade.

Passo 3

Vamos aplicar a ideia com a=4. Podemos fazer uma substituição explícita para ver como aparece o fator \dfrac{1}{4}:
Façamos u=4x. Então du = 4\,dx, logo dx=\dfrac{du}{4}.
Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos \operatorname{sen}(u) em relação a u:
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
Voltando a x (onde u=4x):
\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = \frac{1}{4}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\frac{1}{4}\cos(4x)+C.
Portanto a primitiva é -\dfrac{1}{4}\cos(4x)+C.

Passo 5

Agora usamos a primitiva para calcular a integral definida pela regra fundamental do cálculo:
Se F(x) é primitiva de f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui F(x)=-\dfrac{1}{4}\cos(4x). Então
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sen}(4x)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0).

Passo 6

Calculamos os valores:
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4}\cos\!\left(4\cdot\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4}\cos(\pi) = -\frac{1}{4}(-1)=\frac{1}{4},
F(0) = -\frac{1}{4}\cos(0) = -\frac{1}{4}\cdot 1 = -\frac{1}{4}.
Logo
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sen}(4x)\,dx = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \int \operatorname{sen}(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x)+C
\displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sen}(4x)\,dx = \frac{1}{2}

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