Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
{ }{4} \int{0}^{\pi / 4} \operatorname{sen}(4 x) d x=
{ }{4} \int{0}^{\pi / 4} \operatorname{sen}(4 x) d x=
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral indefinida de
, ou seja encontrar uma primitiva . - Usar essa primitiva para calcular a integral definida
.
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo para a integral definida é de
até .
Passo 2
Conceito importante (o que vamos usar): se
é primitiva de
, então
. Para a função seno composta
existe uma fórmula padrão:
Por que isso é verdade? Porque a derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia). Assim, derivando
obtém-se
. Essa é a verificação direta da primitividade.
Passo 3
Vamos aplicar a ideia com
. Podemos fazer uma substituição explícita para ver como aparece o fator
:
Façamos
. Então
, logo
.
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora integramos
em relação a
:
Voltando a
(onde
):
Portanto a primitiva é
.
Passo 5
Agora usamos a primitiva para calcular a integral definida pela regra fundamental do cálculo:
Se é primitiva de
, então
Se
Aqui
. Então
Passo 6
Calculamos os valores:
Logo