Calcule
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
.
Vou interpretar a expressão como o limite quando , ou seja, calcular
Vou interpretar a expressão como o limite quando
Informações dadas: a sequência dentro do log é
com
tendendo a infinito. A pergunta é: qual o valor numérico desse limite?
Passo 2
Primeira observação simples: conforme
temos
pois o inverso de um número que cresce sem limite vai para zero. Portanto a expressão dentro do log tende a
Passo 3
Agora uso a propriedade de continuidade da função logarítmica natural
no ponto
. A função
é contínua para todo
; isso significa que se
com
, então
. Aplicando isso ao caso
e
, segue que
Como
, obtemos o resultado do limite.
Passo 4
Para quem prefere ver uma prova sem usar diretamente o teorema da continuidade, dá para argumentar por desigualdades (método do aperto/squeeze). Para
vale a desigualdade
e para
também temos
. Posso justificar rapidamente a primeira desigualdade: considere
. Então
logo
é crescente e
implica
, isto é
. Tomando
obtemos
Como
e a quantidade à esquerda é não negativa, pelo princípio do aperto segue que
Passo 5
Intuição numérica rápida para conferir:
,
. À medida que
aumenta esses valores se aproximam de zero, como concluímos.