Calcule \lim \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim \ln\left(1+\frac{1}{n}\right).
Vou interpretar a expressão como o limite quando n\to\infty, ou seja, calcular
\lim_{n\to\infty} \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Informações dadas: a sequência dentro do log é 1+\dfrac{1}{n} com n tendendo a infinito. A pergunta é: qual o valor numérico desse limite?

Passo 2

Primeira observação simples: conforme n\to\infty temos
\frac{1}{n}\to 0,
pois o inverso de um número que cresce sem limite vai para zero. Portanto a expressão dentro do log tende a
1+\frac{1}{n}\to 1+0=1.

Passo 3

Agora uso a propriedade de continuidade da função logarítmica natural \ln no ponto 1. A função \ln(x) é contínua para todo x>0; isso significa que se x_n\to x com x>0, então \ln(x_n)\to\ln(x). Aplicando isso ao caso x_n=1+\dfrac{1}{n} e x=1, segue que
\lim_{n\to\infty} \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) = \ln\!\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) = \ln(1).
Como \ln(1)=0, obtemos o resultado do limite.

Passo 4

Para quem prefere ver uma prova sem usar diretamente o teorema da continuidade, dá para argumentar por desigualdades (método do aperto/squeeze). Para u>-1 vale a desigualdade
\ln(1+u)\le u,
e para u>0 também temos \ln(1+u)>0. Posso justificar rapidamente a primeira desigualdade: considere h(u)=u-\ln(1+u). Então
h'(u)=1-\frac{1}{1+u}=\frac{u}{1+u}\ge 0\quad\text{para }u>-1,
logo h é crescente e h(0)=0 implica h(u)\ge0, isto é \ln(1+u)\le u. Tomando u=\dfrac{1}{n}>0 obtemos
0<\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 e a quantidade à esquerda é não negativa, pelo princípio do aperto segue que
\lim_{n\to\infty} \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=0.

Passo 5

Intuição numérica rápida para conferir: \ln\!\left(1+\dfrac{1}{10}\right)\approx 0{,}095, \ln\!\left(1+\dfrac{1}{100}\right)\approx 0{,}00995. À medida que n aumenta esses valores se aproximam de zero, como concluímos.

Resposta

\;0

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