Calcule \lim \frac{5 n^{2}+1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{n\to\infty} \frac{5 n^{2}+1}{n^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite precisamos calcular é \dfrac{5 n^{2}+1}{n^{2}}.
  • O índice n tende para o infinito ( n\to\infty).
    O objetivo é achar o valor numérico para o qual essa expressão converge quando n cresce sem limite.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e concreta): quando n fica muito grande, os termos com maior potência de n dominam o comportamento da expressão. Uma técnica prática é dividir numerador e denominador pela maior potência de n que aparece (aqui é n^{2}). Isso deixa explícito o termo dominante e mostra quais parcelas tendem a zero.

Passo 3

Aplicando a divisão por n^{2} ao numerador e ao denominador:
\frac{5 n^{2}+1}{n^{2}} = \frac{n^{2}\left(5 + \dfrac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}}.
Como os n^{2} se cancelam, obtemos a forma mais simples
\frac{5 n^{2}+1}{n^{2}} = 5 + \frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Análise do termo \dfrac{1}{n^{2}}: para qualquer potência positiva p>0 vale
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{p}} = 0.
No nosso caso p=2, portanto
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{2}} = 0.
Intuição curta: conforme n cresce, o denominador cresce muito e a fração fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 5

Usando a propriedade de linearidade dos limites (o limite da soma é a soma dos limites, quando os limites existem):
\lim_{n\to\infty}\left(5 + \frac{1}{n^{2}}\right) = \lim_{n\to\infty}5 \;+\; \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}} = 5 + 0 = 5.

Passo 6

Cheque numérico rápido para ganhar confiança: para n=10 a expressão vale 5{,}01; para n=100 vale 5{,}0001. Isso mostra a convergência para 5 na prática.

Resposta

5

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