O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n} para n\in\mathbb{N} e pede para determinar se \displaystyle a_n converge (ou seja, se existe um limite finito quando n\to\infty) e, em caso afirmativo, qual é esse limite.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão de cada termo é \displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}.
O expoente n é um índice natural que tende a infinito quando analisamos o limite.
A sequência alterna sinal por causa de (-1)^{n} e tem módulo \displaystyle \frac{1}{n}.
Passo 2
Definição de convergência de sequência (lembrando com calma): dizemos que a sequência (a_n) converge para um número L se, para todo \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale \displaystyle |a_n-L|<\varepsilon. Essa é a definição que vamos usar para provar rigorosamente qualquer afirmação sobre limites de sequência.
Passo 3
Observação intuitiva e estratégia: o fator \displaystyle (-1)^{n} só muda o sinal dos termos entre +1 e -1; ele é sempre limitado entre -1 e 1. O outro fator \displaystyle \frac{1}{n} tende a 0 quando n\to\infty. Produto de algo limitado por \pm1 com algo que vai a 0 sugere que o produto deve ir a 0. Formalmente, uma forma direta é usar o valor absoluto:
|a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}.
Se mostrarmos que \displaystyle \frac{1}{n}\to 0, então |a_n|\to 0 e, portanto, a_n\to 0.
Passo 4
Prova pelo argumento do valor absoluto (prova \varepsilon-N, passo a passo):
Seja qualquer \varepsilon>0. Escolha
onde \lfloor\cdot\rfloor é a parte inteira. Esse N satisfaz N>\dfrac{1}{\varepsilon}, logo \dfrac{1}{N}<\varepsilon. Para todo n\ge N temos \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N}<\varepsilon (pois 1/n é decrescente em n). Então, para todo n\ge N,
Pela definição de limite, concluímos que \displaystyle a_n\to 0 quando n\to\infty.
Passo 5
Prova alternativa usando o Teorema do Aperto (squeeze theorem), que é bem intuitiva:
Para todo n vale
-\frac{1}{n}\le \frac{(-1)^n}{n}\le \frac{1}{n}.
Como \displaystyle -\frac{1}{n}\to 0 e \displaystyle \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pelo Teorema do Aperto segue que \displaystyle \frac{(-1)^n}{n}\to 0.
Passo 6
Comentário adicional (intuitivo e útil para prova): a sequência alterna sinal (pares são positivos, ímpares são negativos), mas as magnitudes dos termos vão diminuindo como \dfrac{1}{n}. Assim tanto a subsequência dos termos com índice par quanto a dos termos com índice ímpar convergem para 0; isso reforça que toda a sequência converge para 0.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.