O enunciado dá a sequência \,a_{n}=\dfrac{n}{n+10}\, para n\in\mathbb{N} (números naturais) e pede que eu determine o limite de \,a_n\, quando n\to\infty.
Informações relevantes:
A sequência é racional em n.
Quer-se \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.
Passo 2
Intuição básica (sem formalismo): quando n fica muito grande, o termo 10 é pequeno comparado com n. Então \,n+10 é aproximadamente n, e \dfrac{n}{n+10} deve ficar perto de 1. Vamos transformar isso em contas exatas.
Passo 3
Fazer uma manipulação algébrica simples para ver o comportamento quando n\to\infty. Divido numerador e denominador por n:
Essa forma é útil porque reduz o problema a estudar o termo \dfrac{10}{n} quando n cresce.
Passo 4
Observar o comportamento de \dfrac{10}{n}. Para n\to\infty temos intuitivamente \dfrac{10}{n}\to 0. Vou fazer uma justificativa simples por desigualdade que já é uma prova suficiente para sequências:
Para todo n\ge 1 vale
0<\frac{10}{n}\le 10.
Mais importante, dado \varepsilon>0, se escolhermos N tal que N>\dfrac{10}{\varepsilon}, então para todo n\ge N teremos
\frac{10}{n}\le\frac{10}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que \dfrac{10}{n}\to 0 quando n\to\infty (definição \varepsilon-N).
Passo 5
Usar continuidade da função f(x)=\dfrac{1}{1+x} em x=0 (ou simplesmente observar que substituir o valor limite dentro da expressão é válido aqui): como \dfrac{10}{n}\to 0, da expressão obtida em Passo 3 segue que