Determine o limite de a_{n}=\frac{n}{n+10}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,a_{n}=\dfrac{n}{n+10}\, para n\in\mathbb{N} (números naturais) e pede que eu determine o limite de \,a_n\, quando n\to\infty.
Informações relevantes:
  • A sequência é racional em n.
  • Quer-se \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Intuição básica (sem formalismo): quando n fica muito grande, o termo 10 é pequeno comparado com n. Então \,n+10 é aproximadamente n, e \dfrac{n}{n+10} deve ficar perto de 1. Vamos transformar isso em contas exatas.

Passo 3

Fazer uma manipulação algébrica simples para ver o comportamento quando n\to\infty. Divido numerador e denominador por n:
a_n=\frac{n}{n+10}=\frac{n/n}{(n+10)/n}=\frac{1}{1+\dfrac{10}{n}}.
Essa forma é útil porque reduz o problema a estudar o termo \dfrac{10}{n} quando n cresce.

Passo 4

Observar o comportamento de \dfrac{10}{n}. Para n\to\infty temos intuitivamente \dfrac{10}{n}\to 0. Vou fazer uma justificativa simples por desigualdade que já é uma prova suficiente para sequências:
Para todo n\ge 1 vale
0<\frac{10}{n}\le 10.
Mais importante, dado \varepsilon>0, se escolhermos N tal que N>\dfrac{10}{\varepsilon}, então para todo n\ge N teremos
\frac{10}{n}\le\frac{10}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que \dfrac{10}{n}\to 0 quando n\to\infty (definição \varepsilon- N).

Passo 5

Usar continuidade da função f(x)=\dfrac{1}{1+x} em x=0 (ou simplesmente observar que substituir o valor limite dentro da expressão é válido aqui): como \dfrac{10}{n}\to 0, da expressão obtida em Passo 3 segue que
a_n=\frac{1}{1+\dfrac{10}{n}}\longrightarrow \frac{1}{1+0}=1.

Passo 6

Prova alternativa curta por diferença (mais direta): calcular a diferença entre a_n e 1:
\left|a_n-1\right|=\left|\frac{n}{n+10}-1\right|=\left|\frac{n-(n+10)}{n+10}\right|=\frac{10}{n+10}.
Como \dfrac{10}{n+10}\le \dfrac{10}{n} e já mostramos que \dfrac{10}{n}\to 0, então |a_n-1|\to 0. Isso significa \,a_n\to 1.

Resposta

1

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