Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a seguinte expressão limite quando
cresce sem bound:
Informações dadas: a expressão é uma razão de polinômios em
com termos de grau máximo
tanto no numerador quanto no denominador. A pergunta explícita é: qual é o valor desse limite quando
?
Passo 2
Ideia e justificativa do método que vou usar (explicando com calma).
Quando temos uma razão de polinômios e queremos o limite para , os termos de menor potência de
tornam-se insignificantes em comparação com os termos de maior potência. Uma forma sistemática de usar isso é dividir numerador e denominador pelo maior poder de
que aparece (aqui é
). Isso transforma a expressão em uma forma em que aparecem frações do tipo
, que tendem a zero quando
. Depois usamos que, se duas sequências convergem e o limite do denominador é diferente de zero, o limite da razão é a razão dos limites.
Quando temos uma razão de polinômios e queremos o limite para
Passo 3
Fazer a divisão por
passo a passo (sem pular etapas).
Começo fatorando em numerador e denominador:
Começo fatorando
Como
para
grande, posso simplificar o fator
:
Passo 4
Analisar os termos que tendem a zero.
Agora observo as frações e
. Para
vale
Agora observo as frações
porque
cresce sem limite e o inverso de uma quantidade que cresce sem limite tende a zero. (Ex.:
já é bem pequeno; conforme
aumenta fica ainda menor.)
Passo 5
Aplicar o limite na expressão já simplificada usando a continuidade das operações algébricas.
Como e
são constantes e as duas frações acima tendem a zero, posso passar ao limite dentro da razão:
Como
Passo 6
Interpretação geral (dica prática para a prova).
Para razões de polinômios em que numerador e denominador têm o mesmo grau (aqui ambos grau ), o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui coeficiente de
no numerador é
e no denominador é
). Exemplo extra:
. Isso é uma forma rápida de lembrar o procedimento.
Para razões de polinômios em que numerador e denominador têm o mesmo grau (aqui ambos grau