Calcule \lim \frac{3 n^{2}+2}{2 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a seguinte expressão limite quando n cresce sem bound:
\lim_{n\to\infty} \frac{3 n^{2}+2}{2 n^{2}+1}.
Informações dadas: a expressão é uma razão de polinômios em n com termos de grau máximo 2 tanto no numerador quanto no denominador. A pergunta explícita é: qual é o valor desse limite quando n\to\infty?

Passo 2

Ideia e justificativa do método que vou usar (explicando com calma).
Quando temos uma razão de polinômios e queremos o limite para n\to\infty, os termos de menor potência de n tornam-se insignificantes em comparação com os termos de maior potência. Uma forma sistemática de usar isso é dividir numerador e denominador pelo maior poder de n que aparece (aqui é n^2). Isso transforma a expressão em uma forma em que aparecem frações do tipo \dfrac{1}{n^2}, que tendem a zero quando n\to\infty. Depois usamos que, se duas sequências convergem e o limite do denominador é diferente de zero, o limite da razão é a razão dos limites.

Passo 3

Fazer a divisão por n^2 passo a passo (sem pular etapas).
Começo fatorando n^2 em numerador e denominador:
\frac{3 n^{2}+2}{2 n^{2}+1} = \frac{n^{2}\left(3 + \dfrac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2 + \dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Como n^{2}\neq 0 para n grande, posso simplificar o fator n^{2}:
\frac{3 n^{2}+2}{2 n^{2}+1} = \frac{3 + \dfrac{2}{n^{2}}}{2 + \dfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 4

Analisar os termos que tendem a zero.
Agora observo as frações \dfrac{2}{n^{2}} e \dfrac{1}{n^{2}}. Para n\to\infty vale
\lim_{n\to\infty} \frac{2}{n^{2}} = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{2}} = 0,
porque n^{2} cresce sem limite e o inverso de uma quantidade que cresce sem limite tende a zero. (Ex.: \dfrac{1}{100^2}=0,0001 já é bem pequeno; conforme n aumenta fica ainda menor.)

Passo 5

Aplicar o limite na expressão já simplificada usando a continuidade das operações algébricas.
Como 3 e 2 são constantes e as duas frações acima tendem a zero, posso passar ao limite dentro da razão:
\lim_{n\to\infty} \frac{3 + \dfrac{2}{n^{2}}}{2 + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{3 + 0}{2 + 0}.

Passo 6

Interpretação geral (dica prática para a prova).
Para razões de polinômios em que numerador e denominador têm o mesmo grau (aqui ambos grau 2), o limite quando n\to\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui coeficiente de n^2 no numerador é 3 e no denominador é 2). Exemplo extra: \lim_{n\to\infty}\dfrac{5n^{3}+1}{2n^{3}-7}=\dfrac{5}{2}. Isso é uma forma rápida de lembrar o procedimento.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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