Calcule
lim h 0 1h integral2^2+h raiz5+t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limhto0 1h integral2^2+h raiz5+t^2,dt. Isso envolve integral definida com intervalo dependente de h e queremos entender como esse quociente se comporta quando hto0. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a interpretação da derivada de uma integral em seu limite.

Passo 2

Para funções contínuas, o Teorema do Valor Médio para integrais afirma que existe c entre 2 e 2+h tal que
integral2^2+h raiz5+t^2,dt = raiz5+c^2;h
Isso diz que a integral é igual ao valor da função num ponto intermediário vezes o comprimento do intervalo.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por h, obtemos
1h integral2^2+h raiz5+t^2,dt = raiz5+c^2
Como hto0, o ponto c fica cada vez mais próximo de 2, então raiz5+c^2 tende a raiz5+2^2.

Passo 4

Logo, ao fazer hto0, o limite vale o valor da função em t=2:
limhto0 1h integral2^2+h raiz5+t^2,dt = raiz5+2^2

Passo 5

Basta então calcular raiz5+2^2 = raiz9 = 3.

Resposta

3

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