Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. Isso envolve integral definida com intervalo dependente de
e queremos entender como esse quociente se comporta quando
. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a interpretação da derivada de uma integral em seu limite.
Passo 2
Para funções contínuas, o Teorema do Valor Médio para integrais afirma que existe
entre
e
tal que
Isso diz que a integral é igual ao valor da função num ponto intermediário vezes o comprimento do intervalo.
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Como
, o ponto
fica cada vez mais próximo de
, então
tende a
.
Passo 4
Logo, ao fazer
, o limite vale o valor da função em
:
Passo 5
Basta então calcular
.
Resposta
3