A série sumn=0^+infty n!+n^2(n+1)! converge ou diverge? Justifique matematicamente sua resposta. (dica: Divida todos os termos por n !)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série sumn=0^inftyn! + n^2(n+1)!. O conteúdo é análise de séries numéricas e vamos precisar simplificar o termo geral dividindo numerador e denominador por n! e usar comparação com séries conhecidas.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por n! temos
n! + n^2(n+1)! = 1 + n^2n!n+1 = 1n+1 + n^2(n+1),n! Assim escrevemos a série como
sumn=0^infty n! + n^2(n+1)! = sumn=0^infty 1n+1 ;+ sumn=0^infty n^2(n+1)!

Passo 3

Sabemos que sumn=0^infty1n+1 = sumk=1^infty1k é a série harmônica, que diverge. Já sumn=0^inftyn^2(n+1)! converge (pode-se usar o critério da razão ou comparar com uma série de termo decaindo exponencialmente). Mas a soma de uma parte divergente com uma parte convergente diverge.

Passo 4

Logo, pela comparação com a série harmônica, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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