Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite quando $ n $ tende ao infinito da expressão
. Estamos lidando com limites de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar comparar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o grau do polinômio no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de $ n $ que aparece nele.
- No numerador $ n^{4} + 4n^{2} + n + 3 $, o termo com maior expoente é $ n^{4} $, então o grau é 4.
- No denominador $ n^{6} + n^{3} - n + 2 $, o termo com maior expoente é $ n^{6} $, então o grau é 6.
Passo 3
Quando o grau do polinômio no denominador é maior que o grau do numerador, o limite da fração tende a zero. Isso acontece porque, conforme $ n $ cresce, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que a fração inteira fique cada vez menor.
Matematicamente, se $ \deg(N) < \deg(D) $, então:
Passo 4
Aplicando essa regra ao nosso caso:
Portanto, o limite da expressão será zero.