Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} para cada uma das funções dadas a seguir.
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right),

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
para a função dada f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right).
Informações que temos:
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right).
Em particular,
f(0)=\operatorname{sen}(0^{2})=\operatorname{sen}(0)=0.
Portanto a expressão do limite fica
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)-0}{h}=\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h}.

Passo 2

Objetivo agora: calcular
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h}.
Uma manipulação útil é fatorar para obter um termo conhecido. Escrevo
\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h} =\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h^{2}}\cdot h.
Aqui separamos em duas partes: \frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h^{2}} e h. Vou estudar o limite de cada parte quando h\to 0.

Passo 3

Vou usar um limite trigonométrico clássico e muito útil:
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Explicando por que isso vale (ideia principal, sem formalidade excessiva): para pequenos t em (0,\pi/2) vale a desigualdade
\cos t \le \frac{\operatorname{sen} t}{t} \le 1,
que vem das desigualdades geométricas \sin t < t < \tan t e manipulação algébrica. Como \lim_{t\to0}\cos t=1, pelo teorema do confronto (squeeze), vem que \lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Agora aplico essa identidade ao nosso termo colocando t=h^{2}. Quando h\to 0 temos t=h^{2}\to 0, logo
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h^{2}}=1.

Passo 4

Usando a fatoração do Passo 2 e as propriedades de limites (produto de limites quando ambos existem):
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h} =\left(\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h^{2}}\right)\cdot\left(\lim_{h\to 0}h\right).
Já sabemos que \lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}\left(h^{2}\right)}{h^{2}}=1 (Passo 3) e claramente \lim_{h\to 0}h=0. Portanto o produto é
1\cdot 0=0.
Assim o limite pedido vale 0.

Passo 5

Comentário extra (opcional, como checagem): se você conhecer derivadas e a regra da cadeia, pode ver que f'(x)=2x\cos(x^{2}) e então f'(0)=2\cdot 0\cdot \cos(0)=0, que coincide com o resultado acima. Eu escolhi o método do limite trigonométrico porque é direto e usa ideias básicas que normalmente caem em prova.

Resposta

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