Calcule
para cada uma das funções dadas a seguir.
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
para a função dada
.
Informações que temos:
Em particular,
Portanto a expressão do limite fica
Passo 2
Objetivo agora: calcular
Uma manipulação útil é fatorar para obter um termo conhecido. Escrevo
Aqui separamos em duas partes:
e
. Vou estudar o limite de cada parte quando
.
Passo 3
Vou usar um limite trigonométrico clássico e muito útil:
Explicando por que isso vale (ideia principal, sem formalidade excessiva): para pequenos
em
vale a desigualdade
que vem das desigualdades geométricas
e manipulação algébrica. Como
, pelo teorema do confronto (squeeze), vem que
.
Agora aplico essa identidade ao nosso termo colocando
. Quando
temos
, logo
Passo 4
Usando a fatoração do Passo 2 e as propriedades de limites (produto de limites quando ambos existem):
Já sabemos que
(Passo 3) e claramente
. Portanto o produto é
Assim o limite pedido vale
.
Passo 5
Comentário extra (opcional, como checagem): se você conhecer derivadas e a regra da cadeia, pode ver que
e então
, que coincide com o resultado acima. Eu escolhi o método do limite trigonométrico porque é direto e usa ideias básicas que normalmente caem em prova.