Determine cada um dos limites dados a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável tende para
. - A expressão dentro do parêntese é
; para grandes isso fica perto de . - A potência é
, que cresce para . - A expressão é sempre positiva para
grande (pois ), então faz sentido aplicar logaritmo natural se quisermos.
Passo 2
Estratégia escolhida (explico por que): uma técnica muito útil para limites desse tipo (forma “algo próximo de 1” elevado a uma quantidade que vai a infinito) é tomar o logaritmo natural da expressão, transformar o problema em avaliar um limite do tipo
, calcular esse limite e depois exponentiar o resultado. Isso funciona porque a função
é contínua e estritamente crescente em
, então conhecer
nos dá o limite da expressão pela exponenciação. Vou aplicar isso aqui.
Defino
Como a base é positiva para
grande, posso tomar logaritmo:
ou seja, preciso calcular o limite de
.
Passo 3
Faço uma substituição para simplificar a expressão e colocar numa forma padrão. Defino
Quando
temos
. Reescrevendo
em termos de
:
Assim
Portanto basta calcular
.
Passo 4
Agora calculo a quantidade
Esse é um limite clássico de forma
. Uma maneira direta é aplicar a Regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a
obtemos
- derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
.
Pela Regra de L’Hôpital,
(Comentário alternativo rápido: quem já conhece séries pode ver
, daí o quociente tende a
.)
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior, temos
Como a função exponencial é a inversa do logaritmo natural e é contínua, exponentio ambos os lados para voltar à
:
Passo 6
Conclusão e intuição rápida: à medida que
cresce,
aproxima-se de
. A razão é que pequenas variações lineares no interior, quando repetidas
vezes, geram um crescimento exponencial cujo fator é
.