Determine cada um dos limites dados a seguir.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{9}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o valor do limite
\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{9}{x}\right)^{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável tende para +\infty.
  • A expressão dentro do parêntese é \left(1+\dfrac{9}{x}\right); para grandes x isso fica perto de 1.
  • A potência é x, que cresce para +\infty.
  • A expressão é sempre positiva para x grande (pois 1+9/x>0), então faz sentido aplicar logaritmo natural se quisermos.

Passo 2

Estratégia escolhida (explico por que): uma técnica muito útil para limites desse tipo (forma “algo próximo de 1” elevado a uma quantidade que vai a infinito) é tomar o logaritmo natural da expressão, transformar o problema em avaliar um limite do tipo x\ln(\cdot), calcular esse limite e depois exponentiar o resultado. Isso funciona porque a função \ln é contínua e estritamente crescente em (0,+\infty), então conhecer \lim \ln(\text{expressão})ã nos dá o limite da expressão pela exponenciação. Vou aplicar isso aqui.
Defino
L=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{9}{x}\right)^{x}.
Como a base é positiva para x grande, posso tomar logaritmo:
\ln L=\lim_{x\to +\infty} x\ln\!\left(1+\frac{9}{x}\right),
ou seja, preciso calcular o limite de x\ln\!\left(1+\dfrac{9}{x}\right).

Passo 3

Faço uma substituição para simplificar a expressão e colocar numa forma padrão. Defino
t=\frac{9}{x}.
Quando x\to +\infty temos t\to 0^+. Reescrevendo x\ln\!\left(1+\dfrac{9}{x}\right) em termos de t:
x\ln\!\left(1+\frac{9}{x}\right) = \frac{9}{t}\ln(1+t).
Assim
\ln L = \lim_{t\to 0^+} \frac{9}{t}\ln(1+t) = 9\cdot\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Portanto basta calcular \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 4

Agora calculo a quantidade
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Esse é um limite clássico de forma 0/0. Uma maneira direta é aplicar a Regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a t obtemos
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dt}\ln(1+t)=\dfrac{1}{1+t},
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dt}t=1.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{1}{1+t} = 1.
(Comentário alternativo rápido: quem já conhece séries pode ver \ln(1+t)=t-\tfrac{t^2}{2}+\cdots, daí o quociente tende a 1.)

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior, temos
\ln L = 9\cdot 1 = 9.
Como a função exponencial é a inversa do logaritmo natural e é contínua, exponentio ambos os lados para voltar à L:
L = e^{\,\ln L} = e^{9}.

Passo 6

Conclusão e intuição rápida: à medida que x cresce, \left(1+\dfrac{9}{x}\right)^{x} aproxima-se de e^{9}. A razão é que pequenas variações lineares no interior, quando repetidas x vezes, geram um crescimento exponencial cujo fator é 9.

Resposta

e^{9}

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