Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n+3}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+3}
converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{1}{2n+3}.
  • Os termos são positivos para todo n\ge1.
  • Precisamos decidir se a soma infinita desses termos tem um valor finito (converge) ou não (diverge).

Passo 2

Escolha do método: vamos comparar com a série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}. Motivo intuitivo: para n grande temos 2n+3 parecendo com 2n, então \displaystyle\frac{1}{2n+3} deve comportar-se como uma constante vezes \displaystyle\frac{1}{n}. Uma maneira formal e simples é usar o teste da comparação por limite (limit comparison test). Vou explicar esse teste com calma.
Explicação do teste da comparação por limite:
  • Considere duas sequências positivas \displaystyle (a_n) e \displaystyle (b_n) com a_n>0,\;b_n>0 para todo n.
  • Se existir o limite finito e positivo L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},\quad 0< L<\infty,então as séries \displaystyle\sum a_n e \displaystyle\sum b_n são simultaneamente convergentes ou divergentes.
  • Em palavras: se a_n e b_n são assintoticamente proporcionais (uma é aproximadamente constante vezes a outra), então o comportamento de convergência é o mesmo.

Passo 3

Aplicando o teste à nossa série, tomamos
a_n=\frac{1}{2n+3},\qquad b_n=\frac{1}{n}.
Calculemos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2n+3}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+3}.
Para calcular esse limite, divida numerador e denominador por n:
\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2+\frac{3}{n}}.
Quando n\to\infty temos \frac{3}{n}\to0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite L existe e vale L=\tfrac{1}{2}, que é um número estritamente positivo e finito. Pelo teste da comparação por limite, \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+3} converte-se ou diverge exatamente como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Passo 4

Agora precisamos do fato conhecido sobre a série harmônica: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Vou provar isso rapidamente (prova clássica por agrupamento), porque é um ingrediente necessário e útil para a prova na prova:
Prova de que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge (agrupamento):
Escrevemos a soma em blocos:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
No k-ésimo bloco (começando a contar do bloco k=1 depois dos primeiros termos), há 2^{k-1} termos, todos com valor maior ou igual a \frac{1}{2^k}. Por exemplo:
  • \frac{1}{3}+\frac{1}{4} > 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2},
  • \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2},
  • em geral cada bloco contribui mais que \frac{1}{2}.
Assim os somatórios parciais crescem pelo menos como
1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots}_{\text{infinitos } \frac{1}{2}\text{s}},
o que tende para +\infty. Logo a série harmônica diverge.

Passo 5

Conclusão final usando o teste da comparação por limite e a divergência da série harmônica: como
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2n+3}}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}\in(0,\infty)
e \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge, então \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+3} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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