1. Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{4} sendo f dada por
(c) f(x)=5

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{4},
onde a função é dada por f(x)=5.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • f é a função constante f(x)=5 para todo x.
  • A variável que tende a zero é h; a variável x é um ponto fixo (qualquer real) onde avaliamos a expressão.
  • A expressão a avaliar é a diferença f(x+h)-f(x) dividida por 4, e depois tomamos o limite quando h\to 0.

Passo 2

Entender o que significa f ser constante: quando f(x)=5 para todo x, então, para qualquer valor de x e qualquer valor de h,
f(x+h)=5 \qquad\text{e}\qquad f(x)=5.
Isto é, a aplicação de f não depende de x nem de h; sempre dá 5.

Passo 3

Calcular a diferença no numerador usando a constância:
f(x+h)-f(x)=5-5=0
para qualquer h. Portanto, a expressão dentro do limite fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{4}=\frac{0}{4}.

Passo 4

Simplificar a fração:
\frac{0}{4}=0.
Observe que essa igualdade vale para todo h (inclusive para valores de h próximos de 0), então a função de h que estamos fazendo tender a 0 é a função constante 0.

Passo 5

Usar a propriedade de limites: se uma função de h é constante igual a 0 em toda vizinhança de 0, seu limite quando h\to 0 é 0. Alternativamente, aplicar a linearidade do limite:
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{4}=\frac{1}{4}\lim_{h\to 0}\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)
e como f(x+h)-f(x)=0 para todo h, tem-se \lim_{h\to 0}\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)=0, logo o resultado é \dfrac{1}{4}\cdot 0=0.
Observação didática rápida (para a prova): essa expressão lembra a definição do derivada \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, mas aqui o denominador é 4 (constante) e não h. Para uma função constante a derivada também é 0; ambos os raciocínios dão o mesmo resultado neste caso.

Resposta

0

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