- Calcule
sendo
dada por
(c)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde a função é dada por
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
-
é a função constante para todo . - A variável que tende a zero é
; a variável é um ponto fixo (qualquer real) onde avaliamos a expressão. - A expressão a avaliar é a diferença
dividida por , e depois tomamos o limite quando .
Passo 2
Entender o que significa
ser constante: quando
para todo
, então, para qualquer valor de
e qualquer valor de
,
Isto é, a aplicação de
não depende de
nem de
; sempre dá
.
Passo 3
Calcular a diferença no numerador usando a constância:
para qualquer
. Portanto, a expressão dentro do limite fica
Passo 4
Simplificar a fração:
Observe que essa igualdade vale para todo
(inclusive para valores de
próximos de
), então a função de
que estamos fazendo tender a
é a função constante
.
Passo 5
Usar a propriedade de limites: se uma função de
é constante igual a
em toda vizinhança de
, seu limite quando
é
. Alternativamente, aplicar a linearidade do limite:
e como
para todo
, tem-se
, logo o resultado é
.
Observação didática rápida (para a prova): essa expressão lembra a definição do derivada
, mas aqui o denominador é
(constante) e não
. Para uma função constante a derivada também é
; ambos os raciocínios dão o mesmo resultado neste caso.