- Calcule
sendo
dada por
(e)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá:\n
- Está dado
. - Pede-se calcular
.\n
Informação importante sobre onde a expressão faz sentido:não está definida em . Portanto só faz sentido falar do limite para pontos com . Neste passo apenas listei o dado e o que é pedido; não resolvi nada ainda.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a diferença
usando a forma dada de
. Substituindo:
Agora vou simplificar essa expressão usando uma única fração.
Passo 3
Calcule a diferença das frações com denominador comum:
Expliquei cada passo: para subtrair as frações coloquei denominador comum
, e no numerador ficou
.
Passo 4
Agora coloque essa diferença sobre
(é o que aparece no limite):
Ou seja, a expressão dentro do limite é
.
Passo 5
Vamos usar propriedades básicas de limites. Para
temos
e
. Como
, o produto
tende para
. Portanto a função
é contínua em
e tem limite
.\n
Usando que o limite do produto é o produto dos limites (quando existem e são finitos), obtemos
Usando que o limite do produto é o produto dos limites (quando existem e são finitos), obtemos
Passo 6
Calcule cada limite separado:
e
(válido porque
). Multiplicando,
Assim o limite procurado é
para todo
em que a função está definida.