1. Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{4} sendo f dada por
(e) f(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:\n
  • Está dado f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Pede-se calcular \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{4}.\n
    Informação importante sobre onde a expressão faz sentido: f(x)=\dfrac{1}{x} não está definida em x=0. Portanto só faz sentido falar do limite para pontos x com x\neq0. Neste passo apenas listei o dado e o que é pedido; não resolvi nada ainda.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a diferença f(x+h)-f(x) usando a forma dada de f. Substituindo:
f(x+h)-f(x)=\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}.
Agora vou simplificar essa expressão usando uma única fração.

Passo 3

Calcule a diferença das frações com denominador comum:
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\frac{-h}{x(x+h)}.
Expliquei cada passo: para subtrair as frações coloquei denominador comum x(x+h), e no numerador ficou x-(x+h)=-h.

Passo 4

Agora coloque essa diferença sobre 4 (é o que aparece no limite):
\frac{f(x+h)-f(x)}{4}=\frac{-h}{4\,x(x+h)}.
Ou seja, a expressão dentro do limite é \dfrac{-h}{4\,x(x+h)}.

Passo 5

Vamos usar propriedades básicas de limites. Para x\neq0 temos \lim_{h\to0}h=0 e \lim_{h\to0}x+h=x. Como x\neq0, o produto x(x+h) tende para x\cdot x=x^2\neq0. Portanto a função h\mapsto\dfrac{1}{x(x+h)} é contínua em h=0 e tem limite \dfrac{1}{x^2}.\n
Usando que o limite do produto é o produto dos limites (quando existem e são finitos), obtemos
\lim_{h\to0}\frac{-h}{4\,x(x+h)}=\left(\lim_{h\to0}-h\right)\cdot\left(\lim_{h\to0}\frac{1}{4\,x(x+h)}\right).

Passo 6

Calcule cada limite separado: \lim_{h\to0}-h=0 e \lim_{h\to0}\dfrac{1}{4\,x(x+h)}=\dfrac{1}{4\,x^2} (válido porque x\neq0). Multiplicando,
0\cdot\frac{1}{4\,x^2}=0.
Assim o limite procurado é 0 para todo x em que a função está definida.

Resposta

0 para x\neq0

Exercícios relacionados