- Calcule e justifique.
(s)
Passo 1
O enunciado pede para calcular e justificar o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função a considerar é a razão
. - O ponto de interesse é
. - Não há imagens ou outros dados a considerar.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento das partes separadamente: o numerador
e o denominador
quando
.
Propriedade importante (regra de limites que vamos usar): o limite de um polinômio quando
tende a um ponto é simplesmente o valor do polinômio nesse ponto, porque polinômios são funções contínuas. Ou seja, para qualquer polinômio
,
Aplicando isso ao numerador:
Aplicando ao denominador:
Passo 3
Antes de dividir, verificamos se o limite do denominador é zero. Aqui obtivemos
. Isso é crucial: a propriedade que permite passar o limite para dentro da razão diz que, se
e
, então
Portanto não há forma indeterminada aqui (não é
nem
), podemos dividir os limites obtidos.
Passo 4
Usando a propriedade anterior, o limite pedido é
Passo 5
Comentário didático rápido (ajuda para a prova): sempre ao calcular limites de expressões racionais de polinômios primeiro verifique se a substituição direta dá um caso não indeterminado. Se a substituição direta dá um número finito com denominador não nulo, esse é o limite. Só precisa de técnicas como fatoração ou regra de L’Hôpital quando aparecer
ou
.