1. Calcule e justifique.
(s) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+3 x-1}{x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular e justificar o valor do seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}+3x-1}{x^{2}+2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função a considerar é a razão \dfrac{x^{3}+3x-1}{x^{2}+2}.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • Não há imagens ou outros dados a considerar.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento das partes separadamente: o numerador x^{3}+3x-1 e o denominador x^{2}+2 quando x\to 0.
Propriedade importante (regra de limites que vamos usar): o limite de um polinômio quando x tende a um ponto é simplesmente o valor do polinômio nesse ponto, porque polinômios são funções contínuas. Ou seja, para qualquer polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Aplicando isso ao numerador:
\lim_{x\to 0}(x^{3}+3x-1) = 0^{3}+3\cdot 0 -1 = -1.
Aplicando ao denominador:
\lim_{x\to 0}(x^{2}+2) = 0^{2}+2 = 2.

Passo 3

Antes de dividir, verificamos se o limite do denominador é zero. Aqui obtivemos \lim_{x\to 0}(x^{2}+2)=2\neq 0. Isso é crucial: a propriedade que permite passar o limite para dentro da razão diz que, se
\lim_{x\to a}f(x)=L_f,\qquad \lim_{x\to a}g(x)=L_g,
e L_g\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_f}{L_g}.
Portanto não há forma indeterminada aqui (não é 0/0 nem \infty/\infty), podemos dividir os limites obtidos.

Passo 4

Usando a propriedade anterior, o limite pedido é
\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}+3x-1}{x^{2}+2}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}(x^{3}+3x-1)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}(x^{2}+2)}=\frac{-1}{2} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Comentário didático rápido (ajuda para a prova): sempre ao calcular limites de expressões racionais de polinômios primeiro verifique se a substituição direta dá um caso não indeterminado. Se a substituição direta dá um número finito com denominador não nulo, esse é o limite. Só precisa de técnicas como fatoração ou regra de L’Hôpital quando aparecer 0/0 ou \infty/\infty.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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