(s) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(p)}{h} onde f(x)=x^{2}-3 x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-3x e pede o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(p)}{h}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{2}-3x.
  • O limite é quando h\to 0 do quociente \dfrac{f(x+h)-f(p)}{h}.
  • Há ambiguidade: a letra p aparece e não foi definida. Provavelmente trata‑se de um erro de digitação e o enunciado queria f(x+h)-f(x) (a famosa diferença quociente que define a derivada).
    Observação importante: não tenho certeza sobre o significado de p. Vou seguir a interpretação mais provável (e típica) para este tipo de limite, que é assumir p=x. Se o enunciado realmente exigisse algo diferente (por exemplo p é uma constante distinta de x), isso muda o resultado — eu comento essa alternativa ao final.

Passo 2

O que esse limite representa (aula rápida e informal): o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
é a definição do derivada f'(x). Intuição: para h pequeno, \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a inclinação da reta que passa por (x,f(x)) e (x+h,f(x+h)); ao fazer h\to 0 essa reta aproxima a reta tangente e o quociente aproxima a inclinação da tangente. Nosso objetivo é manipular algebricamente para cancelar h no numerador e então aplicar o limite.

Passo 3

Vamos calcular f(x+h) explicitamente. Substituindo x+h em f:
f(x+h)=(x+h)^{2}-3(x+h).
Desenvolvendo o quadrado e distribuindo:
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h.

Passo 4

Formamos o numerador f(x+h)-f(x) (assumindo p=x) e simplificamos passo a passo. Escrevendo f(x)=x^{2}-3x, temos
\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &= \bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h\bigr) - \bigl(x^{2}-3x\bigr)\\[4pt] &= x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h - x^{2}+3x. \end{aligned}
Agora cancele x^{2} e -3x+3x:
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-3h.]

Passo 5

Factorizamos h no numerador:
f(x+h)-f(x)=h\bigl(2x+h-3\bigr).
Portanto, para h\neq 0,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h-3.

Passo 6

Agora aplicamos o limite quando h\to 0. Como a expressão é 2x+h-3, ao fazer h\to 0 obtemos
\lim_{h\to 0}\bigl(2x+h-3\bigr)=2x-3.
Esse é exatamente f'(x), a derivada de f em x.

Passo 7

Comentário sobre a ambiguidade: se a intenção fosse usar uma constante p diferente de x (ou seja, se o numerador fosse realmente f(x+h)-f(p) com p fixo e x fixo), então ao fazer h\to 0 o numerador tenderia a f(x)-f(p) (que geralmente não é zero) enquanto o denominador tende a 0, logo o limite não existe (ou diverge) na maioria dos casos. Se a intenção fosse escrever a definição da derivada no ponto p, o correto seria \lim_{h\to 0}\dfrac{f(p+h)-f(p)}{h}, cujo valor seria 2p-3.

Resposta

2x-3

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