(s)
onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o limite
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O limite é quando
do quociente . - Há ambiguidade: a letra
aparece e não foi definida. Provavelmente trata‑se de um erro de digitação e o enunciado queria (a famosa diferença quociente que define a derivada).
Observação importante: não tenho certeza sobre o significado de. Vou seguir a interpretação mais provável (e típica) para este tipo de limite, que é assumir . Se o enunciado realmente exigisse algo diferente (por exemplo é uma constante distinta de ), isso muda o resultado — eu comento essa alternativa ao final.
Passo 2
O que esse limite representa (aula rápida e informal): o limite
é a definição do derivada
. Intuição: para
pequeno,
é a inclinação da reta que passa por
e
; ao fazer
essa reta aproxima a reta tangente e o quociente aproxima a inclinação da tangente. Nosso objetivo é manipular algebricamente para cancelar
no numerador e então aplicar o limite.
Passo 3
Vamos calcular
explicitamente. Substituindo
em
:
Desenvolvendo o quadrado e distribuindo:
Passo 4
Formamos o numerador
(assumindo
) e simplificamos passo a passo. Escrevendo
, temos
Agora cancele
e
:
Passo 5
Factorizamos
no numerador:
Portanto, para
,
Passo 6
Agora aplicamos o limite quando
. Como a expressão é
, ao fazer
obtemos
Esse é exatamente
, a derivada de
em
.
Passo 7
Comentário sobre a ambiguidade: se a intenção fosse usar uma constante
diferente de
(ou seja, se o numerador fosse realmente
com
fixo e
fixo), então ao fazer
o numerador tenderia a
(que geralmente não é zero) enquanto o denominador tende a
, logo o limite não existe (ou diverge) na maioria dos casos. Se a intenção fosse escrever a definição da derivada no ponto
, o correto seria
, cujo valor seria
.