- Calcule
sendo
dada por
(d)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
:
onde a função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é um polinômio de grau . - A variável que tende a zero é
; é tratado como um parâmetro (fixo) no limite. - O denominador da expressão é a constante
, não depende de .
Passo 2
Primeira simplificação: fatorar a constante
para fora do limite usando a propriedade linear dos limites (se existir o limite).
Explicando a propriedade usada: para qualquer função
e constante
vale
, desde que o limite de
exista.
Passo 3
Observação importante sobre polinômios: toda função polinomial é contínua em todos os pontos reais. Isso significa que, para polinômios, vale
A partir disso, a diferença dentro do limite tende a
Passo 4
Avaliar a diferença indicada no passo anterior:
Portanto
Passo 5
Como o limite da diferença é
e havia o fator
fora, temos que o limite desejado é
. (A conta acabou; o valor final será apresentado na seção de resposta.)
Passo 6
Complemento didático (método alternativo, útil para ver o fator
aparecer): expandir
em potências de
.
Calculando o cubo e rearranjando:
Então a diferença é
Fatorando
:
Agora fica claro que a diferença é um múltiplo de
. Ao dividir por
e passar para o limite
, esse fator
faz a expressão tender a zero, confirmando o resultado obtido antes.