1. Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{4} sendo f dada por
(d) f(x)=-x^{3}+2 x

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando h\to0:
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{4},
onde a função dada é
f(x)=-x^{3}+2x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f é um polinômio de grau 3.
  • A variável que tende a zero é h; x é tratado como um parâmetro (fixo) no limite.
  • O denominador da expressão é a constante 4, não depende de h.

Passo 2

Primeira simplificação: fatorar a constante 1/4 para fora do limite usando a propriedade linear dos limites (se existir o limite).
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{4} = \frac{1}{4}\lim_{h\to0}\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr).
Explicando a propriedade usada: para qualquer função g(h) e constante c vale \lim_{h\to0} c\cdot g(h)=c\cdot\lim_{h\to0} g(h), desde que o limite de g(h) exista.

Passo 3

Observação importante sobre polinômios: toda função polinomial é contínua em todos os pontos reais. Isso significa que, para polinômios, vale
\lim_{h\to0} f(x+h)=f(x).
A partir disso, a diferença dentro do limite tende a
\lim_{h\to0}\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)=f(x)-f(x).

Passo 4

Avaliar a diferença indicada no passo anterior:
f(x)-f(x)=0.
Portanto
\lim_{h\to0}\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)=0.

Passo 5

Como o limite da diferença é 0 e havia o fator 1/4 fora, temos que o limite desejado é \dfrac{1}{4}\cdot 0. (A conta acabou; o valor final será apresentado na seção de resposta.)

Passo 6

Complemento didático (método alternativo, útil para ver o fator h aparecer): expandir f(x+h) em potências de h.
f(x+h)=-(x+h)^{3}+2(x+h).
Calculando o cubo e rearranjando:
f(x+h)=-x^{3}-3x^{2}h-3xh^{2}-h^{3}+2x+2h.
Então a diferença é
f(x+h)-f(x)=-3x^{2}h-3xh^{2}-h^{3}+2h.
Fatorando h:
f(x+h)-f(x)=h\bigl(-3x^{2}-3xh-h^{2}+2\bigr).
Agora fica claro que a diferença é um múltiplo de h. Ao dividir por 4 e passar para o limite h\to0, esse fator h faz a expressão tender a zero, confirmando o resultado obtido antes.

Resposta

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