Encontre o volume do sólido limitado por cima pela superfície z=x^{2}+2 y^{2} e acima do retângulo R=[-2,2] \times[-2,4]. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = x^{2} + 2y^{2}
e o retângulo no plano xy
R = [-2,2]\times[-2,4].
O que é pedido: encontrar o volume do sólido que está abaixo da superfície z=x^{2}+2y^{2} e acima da região R no plano xy.\n
Informações relevantes:
  • A superfície fornece a altura z em cada ponto (x,y) de R.
  • A região R é um retângulo com x variando de -2 a 2 e y variando de -2 a 4.
  • Para obter o volume sob uma superfície sobre uma região plana usamos uma integral dupla do tipo \iint_{R} z\,dA.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (aula rápida e prática):
  • O volume V do sólido sob a superfície z=f(x,y) sobre uma região R é dado por
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
  • Para uma região retangular R=[a,b]\times[c,d] podemos usar o Teorema de Fubini e transformar a integral dupla em uma integral iterada:
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx
ou trocando a ordem \int_{y=c}^{d}\left(\int_{x=a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy. Ambas são equivalentes e normalmente escolhe-se a que deixa as contas mais simples.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: f(x,y)=x^{2}+2y^{2} e R=[-2,2]\times[-2,4]. Portanto
V=\iint_{R} (x^{2}+2y^{2})\,dA =\int_{x=-2}^{2}\left(\int_{y=-2}^{4} (x^{2}+2y^{2})\,dy\right)dx.
Observação didática: a integranda é soma de uma função só de x e outra só de y. Isso facilita pois dentro da integração em y a parte x^{2} é constante.

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=-2}^{4} (x^{2}+2y^{2})\,dy = \int_{y=-2}^{4} x^{2}\,dy + \int_{y=-2}^{4} 2y^{2}\,dy.
  • Para a primeira parcela, x^{2} é constante em relação a y, então
\int_{y=-2}^{4} x^{2}\,dy = x^{2}\cdot \bigl(y\bigr)\Big|_{y=-2}^{4} = x^{2}\cdot(4-(-2)) = x^{2}\cdot 6.
  • Para a segunda parcela, use antiderivada de y^{2}, que é y^{3}/3:
\int_{y=-2}^{4} 2y^{2}\,dy = 2\cdot \left(\frac{y^{3}}{3}\right)\Big|_{y=-2}^{4} = \frac{2}{3}\bigl(4^{3}-(-2)^{3}\bigr).
Calcule os cubos: 4^{3}=64 e (-2)^{3}=-8. Logo
\frac{2}{3}(64-(-8))=\frac{2}{3}\cdot 72=\frac{144}{3}=48.
Portanto a integral interna é
\int_{y=-2}^{4} (x^{2}+2y^{2})\,dy = 6x^{2} + 48.

Passo 5

Agora integramos em x de -2 a 2:
V=\int_{x=-2}^{2} (6x^{2}+48)\,dx.
Separe as parcelas:
\int_{-2}^{2} 6x^{2}\,dx = 6\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx, \qquad \int_{-2}^{2} 48\,dx = 48\cdot (2-(-2)) = 48\cdot 4.
Calcule \int_{-2}^{2} x^{2}\,dx. A antiderivada de x^{2} é x^{3}/3, então
\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\Big|_{-2}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{(-2)^{3}}{3} = \frac{8}{3}-\frac{-8}{3} = \frac{16}{3}.
Multiplicando:
6\cdot \frac{16}{3} = \frac{96}{3} = 32.
E a outra parcela:
48\cdot 4 = 192.
Somando as duas contribuições:
V = 32 + 192 = 224.

Passo 6

Interpretação rápida para fixar o conceito: a parte 6x^{2} veio porque, para cada x, a altura média em y da contribuição x^{2} é x^{2} vezes a largura em y que é 6. A parte 48 já vinha do termo em y^{2} integrado sobre o intervalo em y. No total obtemos o volume do sólido sob z=x^{2}+2y^{2} sobre o retângulo R.

Resposta

224

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