(b) Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade v(t)=t^3-t (medida em metros por segundo). Calcule a distảncia percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo [0,4]

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula ao longo de uma reta por
v(t)=t^3-t
e pede a distância total percorrida em tin[0,4]. Como a velocidade pode mudar de sinal, vamos precisar integrar o valor absoluto de v(t), ou seja, identificar onde v(t) é positivo ou negativo e somar os módulos das áreas sob a curva.

Passo 2

Encontramos os zeros de v(t) para ver onde ela muda de sinal.
v(t)=t(t^2-1)=0Longrightarrow t=0,;t=1,;t=-1
No intervalo [0,4] aparecem t=0 e t=1. Testando um ponto em (0,1), por exemplo t=0,5, temos v(0,5)=0,125-0,5<0. Em (1,4), por exemplo t=2, v(2)=8-2>0. Logo
  • v(t)<0 em [0,1),
  • v(t)>=0 em [1,4].

Passo 3

A distância total é
Dist ;=;integral0^4l|v(t)r|,dt ;=; -integral0^1(t^3-t),dt ;+;integral1^4(t^3-t),dt

Passo 4

Calculamos a primeira integral em [0,1]:
integral0^1(t^3-t),dt =l[tfract^44-tfract^22r]0^1 =tfrac14-tfrac12 =-tfrac14
Como v(t)<0 ali, a contribuição à distância é -(-tfrac14)=tfrac14.

Passo 5

Agora a integral de [1,4]:
integral1^4(t^3-t),dt =l[tfract^44-tfract^22r]1^4 =l(64-8r)-l(tfrac14-tfrac12r) =56+tfrac14 =tfrac2254

Passo 6

Somando as duas contribuições:
Dist=tfrac14+tfrac2254=tfrac2264=tfrac1132

Resposta

1132 metros.

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