Calcule:
(a)
lim x +infty 1x^2
(d) lim x +infty 2 x+1x+3
(g) lim x +infty 3raizx
(b) lim x -infty 1x^3
(e) lim x -infty 2 x+1x+3
(h) lim x +infty raizx^2+13 x+2
(c) lim x +infty[2-1x]
(f) lim x -infty 2 x^3+1x^4+2 x+3
(i) lim x +infty[x-raizx^2+1]

Passo 1

O enunciado pede várias limites quando xtopminfty de funções que são polinômios, quocientes de polinômios ou envolvem raízes. O conteúdo principal é:
– Para quocientes de polinômios, comparar os graus de numerador e denominador.
– Para termos como 1/x^n ou constantes menos 1/x, usar que 1/x^nto0 quando xtopminfty.
– Para expressões com raiz quadrada, fatorar o maior termo em x.
– Para diferença de termos tipo x-raizx^2+1, usar o conjugado.

Passo 2

Seja uma função do tipo 1/x^n ou um quociente de polinômios em que o grau do numerador é estritamente menor que o do denominador. Nesse caso, à medida que xtopminfty, o denominador cresce mais rápido e o limite vale 0. Aplica-se a
(a) tfrac1x^2, (b) tfrac1x^3, (f) tfrac2x^3+1x^4+2x+3, (g) tfrac3raizx

Passo 3

Calculemos cada um:
(a) limxto+infty1x^2=0
(b) limxto-infty1x^3=0
(f) limxto-infty2x^3+1x^4+2x+3=0
(g) limxto+infty3raizx=0

Passo 4

Para constantes menos 1/x, como em (c), basta usar limxto+infty1/x=0:
(c) limxto+inftyl[2-1xr]=2-0=2

Passo 5

Para quocientes de polinômios de mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes líderes. Aplica-se a
(d) 2x+1x+3, (e) 2x+1x+3
(d) limxto+infty2x+1x+3=21=2
(e) limxto-infty2x+1x+3=21=2

Passo 6

Para (h), fatoramos x dentro da raiz:
raizx^2+1=xraiz1+tfrac1x^2(x>0),
logo
raizx^2+13x+2 =xraiz1+1/x^2xl(3+2/xr) =raiz1+1/x^23+2/x
Quando xto+infty, raiz1+1/x^2to1 e 2/xto0, logo
(h) limxto+inftyraizx^2+13x+2=13

Passo 7

Para (i), usamos o conjugado:
x-raizx^2+1 =l(x-raizx^2+1r)l(x+raizx^2+1r)x+raizx^2+1 =x^2-(x^2+1)x+raizx^2+1 =-1x+raizx^2+1
Quando xto+infty, o denominador to+infty, então
(i) limxto+inftyl[x-raizx^2+1r]=0

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) 2
(d) 2
(e) 2
(f) 0
(g) 0
(h) tfrac13
(i) 0

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