Calcule o volume do conjunto dado
{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1, x+y \leq z \leq x+y+2 }.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
R = (x,y,z)in R^3 mid 1 <= x <= 2,;0 <= y <= 1,;x+y <= z <= x+y+2
Para calcular volume, vamos usar o conceito de integral tripla e o Teorema de Fubini, integrando em ordem z, depois y e por fim x.

Passo 2

Escrevemos o volume como
Vol(R) = integralx=1^2integraly=0^1integralz=x+y^,x+y+2 dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integralz=x+y^,x+y+2 dz = l[zr]z=x+y^,z=x+y+2 = (x+y+2) - (x+y) = 2
Logo
Vol(R) = integralx=1^2integraly=0^1 2 ;dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y e x. Primeiro em y:
integraly=0^12,dy = 2cdot(1-0)=2
Em seguida em x:
integralx=1^22,dx = 2cdot(2-1)=2

Resposta

O volume do conjunto é 2.

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