Exercício 7. (Apostol seção 13.9 exercícios 9) Uma urna contém quatro pedras vermelhas e duas pedras brancas. Retiramos duas pedras dessa urna.
a) Qual a probabilidade de ambas serem brancas?
b) Qual a probabilidade de ambas serem vermelhas?
c) Qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor?
d) Qual a probabilidade de que ao menos uma seja vermelha?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de probabilidade clássica: temos uma urna com quatro pedras vermelhas e duas pedras brancas e vamos retirar duas pedras sem reposição. Precisamos calcular a probabilidade de vários eventos usando a contagem de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis, o que se faz com coeficientes binomiais binomnk.

Passo 2

Primeiro encontramos o número total de maneiras de escolher 2 pedras dentre as 6 disponíveis:
binom62 = 6 cdot 52 cdot 1 = 15
Esse será o denominador em todas as probabilidades.

Passo 3

(a) Ambas serem brancas. Há 2 pedras brancas na urna, e queremos escolher as 2:
casos favoráveis = binom22 = 1 á
Logo
P(duas brancas) = 115

Passo 4

(b) Ambas serem vermelhas. Há 4 pedras vermelhas e queremos escolher 2 delas:
casos favoráveis = binom42 = 4cdot32cdot1 = 6 á
Logo
P(duas vermelhas) = 615 = 25

Passo 5

(c) Ambas da mesma cor. Esse evento é a união disjunta de “duas brancas” com “duas vermelhas”, então somamos as probabilidades:
P(mesma cor) = P(duas brancas) + P(duas vermelhas) = 115 + 615 = 715

Passo 6

(d) Ao menos uma seja vermelha. É mais fácil usar o complementar “nenhuma vermelha” (ou seja, duas brancas):
P(ao menos uma vermelha) = 1 - P(nenhuma vermelha) = 1 - P(duas brancas) = 1 - 115 = 1415

Resposta

(a) tfrac115
(b) tfrac25
(c) tfrac715
(d) tfrac1415

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