Calcule
e
. A integral imprópria
é convergente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular dois limites que envolvem integrais definidas e depois verificar se uma integral imprópria converge. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente limites de integrais e integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar saber como calcular integrais de funções racionais e entender o comportamento delas quando os limites de integração vão ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite
.
Vamos começar fazendo a integral de
. Podemos simplificar a fração:
Agora, separamos a integral:
A primeira integral é conhecida:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
. Logo:
Então, a integral completa fica:
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Sabemos que
, e os termos com o logaritmo se cancelam:
Agora, tiramos o limite quando
:
Passo 3
Agora vamos calcular o limite
.
Usando a mesma antiderivada que encontramos antes:
Aplicamos os limites de
a
:
Novamente,
, então:
Agora, tiramos o limite quando
:
Então, somando tudo:
Resposta
A resposta final é:
Além disso, a integral imprópria
é convergente e seu valor é
.