Calcule lim c +infty integral-c^c 1+x1+x^2 d x e lim c +infty integral-c^2 c 1+x1+x^2 d x. A integral imprópria integral-infty^+infty 1+x1+x^2 d x é convergente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular dois limites que envolvem integrais definidas e depois verificar se uma integral imprópria converge. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente limites de integrais e integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar saber como calcular integrais de funções racionais e entender o comportamento delas quando os limites de integração vão ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite 1+x1+x^2 = 11+x^2 + x1+x^2 .
Vamos começar fazendo a integral de integral 11+x^2 , dx + integral x1+x^2 , dx . Podemos simplificar a fração:
integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C
Agora, separamos a integral:
integral x1+x^2 , dx = 12 ln|1+x^2| + C
A primeira integral é conhecida:
arctan(x) + 12 ln(1+x^2) + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar [ arctan(c) + 12 ln(1+c^2) ] - [ arctan(-c) + 12 ln(1+c^2) ] , então arctan(c) - (-arctan(c)) = 2arctan(c) . Logo:
limc to +infty 2arctan(c) = 2 cdot pi2 = pi
Então, a integral completa fica:
Agora, aplicamos os limites de a :
Sabemos que , e os termos com o logaritmo se cancelam:
Agora, tiramos o limite quando :

Passo 3

Agora vamos calcular o limite arctan(x) + 12 ln(1+x^2) .
Usando a mesma antiderivada que encontramos antes:
[ arctan(2c) + 12 ln(1+(2c)^2) ] - [ arctan(-c) + 12 ln(1+c^2) ]
Aplicamos os limites de arctan(2c) + arctan(c) + 12 ln(1+4c^21+c^2) a limc to +infty arctan(2c) = pi2 :
limc to +infty arctan(c) = pi2
Novamente, limc to +infty 12 ln(1+4c^21+c^2) = 12 ln(4c^2c^2) = 12 ln(4) = 12 cdot ln(4) , então:
pi2 + pi2 + 12 ln(4) = pi + 12 cdot 2ln(2) = pi + ln(2)
Agora, tiramos o limite quando :
Então, somando tudo:

Resposta

A resposta final é:
limc +infty integral-c^c 1+x1+x^2 , dx = pi
limc +infty integral-c^2c 1+x1+x^2 , dx = pi + ln(2)
Além disso, a integral imprópria é convergente e seu valor é .

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