Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
j)
j)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se a integral é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como usar o Teste da Comparação para determinar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é uma função que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que o valor absoluto de nunca será maior que 1. Então podemos escrever:
Isso nos ajuda a simplificar a integral original para facilitar a comparação.
Passo 3
Agora, consideramos o valor absoluto da integral original para aplicar o Teste da Comparação:
Então, se conseguirmos determinar se
converge ou diverge, saberemos o comportamento da integral original.
Passo 4
Para analisar
, vamos comparar com uma integral mais simples que conhecemos:
Sabemos que
converge se
e diverge se
.
Passo 5
No nosso caso,
. Então a integral
converge se:
E diverge se
.
Passo 6
Como
cresce de forma semelhante a
quando
vai para o infinito, a integral
terá o mesmo comportamento de convergência ou divergência que
.
Passo 7
Portanto, aplicando o Teste da Comparação, concluímos que a integral original converge se
e diverge se
.
Resposta
A integral é convergente para valores de
maiores que
e divergente para
.