Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
j) integral1^+infty sen x(1+x^2)^p d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se a integral é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como usar o Teste da Comparação para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de |sen x| <= 1 . Isso significa que o valor absoluto de nunca será maior que 1. Então podemos escrever:
Isso nos ajuda a simplificar a integral original para facilitar a comparação.

Passo 3

Agora, consideramos o valor absoluto da integral original para aplicar o Teste da Comparação:
Então, se conseguirmos determinar se |integral1^+infty sen x(1+x^2)^p dx| <= integral1^+infty 1(1+x^2)^p dx converge ou diverge, saberemos o comportamento da integral original.

Passo 4

Para analisar integral1^+infty 1x^2p dx , vamos comparar com uma integral mais simples que conhecemos:
Sabemos que converge se e diverge se .

Passo 5

No nosso caso, 2p > 1 Rightarrow p > 12 . Então a integral converge se:
E diverge se .

Passo 6

Como cresce de forma semelhante a quando vai para o infinito, a integral terá o mesmo comportamento de convergência ou divergência que .

Passo 7

Portanto, aplicando o Teste da Comparação, concluímos que a integral original converge se e diverge se .

Resposta

A integral é convergente para valores de maiores que e divergente para .

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