Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule as seguintes integrais:
a) integral0^infty e^-alpha x^2-e^-beta x^2x d x, (alpha>0, beta>0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral , onde e são maiores que zero. Esse exercício usa uma técnica chamada derivação pelo parâmetro, que é uma forma esperta de resolver integrais que dependem de algum parâmetro, como e aqui. Vamos precisar lembrar um pouco de cálculo de integrais e de como diferenciar funções que têm parâmetros. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a integral que temos. Ela é a diferença de duas funções exponenciais, dividida por , e a gente vai integra-las de até o infinito. A derivação pelo parâmetro nos permite trocar a ordem de derivação e integração, facilitando a resolução. Então, a ideia é introduzir um parâmetro que nos ajude a manipular essa expressão.

Passo 3

Vamos considerar uma integral mais geral que depende de um parâmetro. Seja:
I(gamma) = integral0^infty e^-gamma x^2 , dx
Aqui, pode ser ou . Sabemos que essa integral é conhecida e podemos calcular sua derivada em relação a . Mas antes, vamos lembrar qual é o valor dessa integral.

Passo 4

A integral I(gamma) = integral0^infty e^-gamma x^2 , dx = 12 raizpigamma é uma forma da integral de Gauss, e sabemos que:
Isso é uma fórmula padrão do cálculo para integrais gaussianas. Agora, vamos pensar em como relacionar isso com a nossa integral original.

Passo 5

Observando a nossa integral original:
integral0^infty e^-alpha x^2 - e^-beta x^2x , dx
Podemos reescrever a diferença de exponenciais como uma integral em relação a e^-alpha x^2 - e^-beta x^2 = integralbeta^alpha partialpartial gamma e^-gamma x^2 , dgamma :
Isso porque a derivada de em relação a nos dá , e ao integrar de a , recuperamos a diferença original.

Passo 6

Substituindo essa expressão na integral original, temos:
integral0^infty e^-alpha x^2 - e^-beta x^2x , dx = integral0^infty 1x ( integralbeta^alpha partialpartial gamma e^-gamma x^2 , dgamma ) dx
Agora, a ideia é trocar a ordem das integrais, o que é permitido sob certas condições que, neste caso, são atendidas.

Passo 7

Trocando as ordens das integrais, ficamos com:
integralbeta^alpha ( integral0^infty partialpartial gamma e^-gamma x^2 cdot 1x , dx ) dgamma
Agora, vamos focar na integral interna, ou seja, integrar em relação a .

Passo 8

Calculando a derivada:
partialpartial gamma e^-gamma x^2 = -x^2 e^-gamma x^2
Substituindo de volta na integral interna:
integral0^infty -x^2 e^-gamma x^2x , dx = -integral0^infty x e^-gamma x^2 , dx

Passo 9

Agora, vamos calcular essa nova integral:
- integral0^infty x e^-gamma x^2 , dx
Fazendo uma substituição simples: seja , então , ou seja, .

Passo 10

Substituindo na integral:
- integral0^infty x e^-gamma x^2 , dx = - integral0^infty e^-u cdot du2gamma = -12gamma integral0^infty e^-u , du
A integral de -12gamma cdot 1 = -12gamma de a é 1, então:

Passo 11

Voltando para a integral original com as ordens trocadas:
integralbeta^alpha ( -12gamma ) dgamma = -12 integralbeta^alpha 1gamma , dgamma
Agora, temos uma integral simples de em relação a .

Passo 12

Integrando - 12 [ ln gamma ]beta^alpha = -12 (ln alpha - ln beta) = 12 (ln beta - ln alpha) :
Usamos as propriedades dos logaritmos para simplificar.

Resposta

A integral integral0^infty e^-alpha x^2 - e^-beta x^2x , dx = 12 ln ( betaalpha ) é igual a .

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