Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule as seguintes integrais:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
, onde
e
são maiores que zero. Esse exercício usa uma técnica chamada derivação pelo parâmetro, que é uma forma esperta de resolver integrais que dependem de algum parâmetro, como
e
aqui. Vamos precisar lembrar um pouco de cálculo de integrais e de como diferenciar funções que têm parâmetros. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a integral que temos. Ela é a diferença de duas funções exponenciais, dividida por
, e a gente vai integra-las de
até o infinito. A derivação pelo parâmetro nos permite trocar a ordem de derivação e integração, facilitando a resolução. Então, a ideia é introduzir um parâmetro que nos ajude a manipular essa expressão.
Passo 3
Vamos considerar uma integral mais geral que depende de um parâmetro. Seja:
Aqui,
pode ser
ou
. Sabemos que essa integral é conhecida e podemos calcular sua derivada em relação a
. Mas antes, vamos lembrar qual é o valor dessa integral.
Passo 4
A integral
é uma forma da integral de Gauss, e sabemos que:
Isso é uma fórmula padrão do cálculo para integrais gaussianas. Agora, vamos pensar em como relacionar isso com a nossa integral original.
Passo 5
Observando a nossa integral original:
Podemos reescrever a diferença de exponenciais como uma integral em relação a
:
Isso porque a derivada de
em relação a
nos dá
, e ao integrar de
a
, recuperamos a diferença original.
Passo 6
Substituindo essa expressão na integral original, temos:
Agora, a ideia é trocar a ordem das integrais, o que é permitido sob certas condições que, neste caso, são atendidas.
Passo 7
Trocando as ordens das integrais, ficamos com:
Agora, vamos focar na integral interna, ou seja, integrar
em relação a
.
Passo 8
Calculando a derivada:
Substituindo de volta na integral interna:
Passo 9
Agora, vamos calcular essa nova integral:
Fazendo uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
.
Passo 10
Substituindo na integral:
A integral de
de
a
é 1, então:
Passo 11
Voltando para a integral original com as ordens trocadas:
Agora, temos uma integral simples de
em relação a
.
Passo 12
Integrando
:
Usamos as propriedades dos logaritmos para simplificar.
Resposta
A integral
é igual a
.