Calcule:
(a) lim x +infty(x^4-3 x+2)
(e) lim x +infty 5 x^3+7 x-3x^4-3 x+3
(b) lim x -infty(3 x^3+2 x+1)
(c) lim x +infty(5-4 x+x^2-x^5)
(f) lim x -infty 5-x3+2 x
(d) lim x +infty 5 x^3-6 x+16 x^2+x+3
(g) lim x +infty x+1x^2+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites no infinito de polinômios e de funções racionais. O conteúdo envolve analisar o comportamento assintótico quando xtopminfty, usando a ideia de que termos de maior grau dominam o crescimento em polinômios e, em racionais, comparar os graus de numerador e denominador.

Passo 2

Para um polinômio P(x) de grau n com coeficiente líder an, quando xto+infty, lim P(x) segue o sinal de an: tende a +infty se an>0 ou a -infty se an<0. Quando xto-infty, se n é par então lim P(x)=+infty (pois (-infty)^n>0), e se n é ímpar o limite tende a -infty se an>0 ou a +infty se an<0.
Aplicando a regra anterior:
(a) limxto+infty(x^4-3x+2): grau 4, coeficiente líder 1>0, logo o limite é +infty.
(b) limxto-infty(3x^3+2x+1): grau 3 ímpar, coeficiente líder 3>0, logo o limite é -infty.
(c) limxto+infty(5-4x+x^2-x^5): grau 5 ímpar, coeficiente líder -1<0, logo o limite é -infty.

Passo 3

Para uma função racional N(x)D(x) com deg N e deg D, se deg N<deg D então o limite em xtopminfty é 0; se deg N=deg D o limite é a razão dos coeficientes líderes; e se deg N>deg D o limite tende a +infty ou -infty conforme o sinal do termo dominante de grau deg N-deg D.
Aplicando a regra de racionais:
(d) limxto+infty5x^3-6x+16x^2+x+3: grau numerador 3> grau denominador 2, o termo dominante é tfrac5x^36x^2=tfrac56xto+infty, logo o limite é +infty.
(e) limxto+infty5x^3+7x-3x^4-3x+3: grau numerador 3< grau denominador 4, então o limite é 0.
(f) limxto-infty5-x3+2x: graus iguais ( 1), coeficientes líderes -1 no numerador e 2 no denominador, logo o limite é -tfrac12.
(g) limxto+inftyx+1x^2+2: grau numerador 1< grau denominador 2, então o limite é 0.

Resposta

(a) +infty
(b) -infty
(c) -infty
(d) +infty
(e) 0
(f) -tfrac12
(g) 0

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