Exercício 8. (Apostol seção 13.9 exercícios 13) Seja A um evento. Dizemos que a probabilidade a favor de A é a de para b se P(A)P(A^c)=ab. Dizemos que a probabilidade contra A é a de para b se P(A^c)P(A)=ab. Dados dois eventos A e B. Se a probabilidade contra A é de 2 para 1 e a probabilidade a favor de A cup B é de 3 para 1 , mostre que
512 <= P(B) <= 34
Dê um exemplo em que P(B)=512 e outro em que P(B)=34.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B com as condições de “odds” (razões de probabilidades): a probabilidade contra A é de 2 para 1, e a probabilidade a favor de Acup B é de 3 para 1. Precisamos usar essas definições de razão para achar P(A) e P(Acup B), depois aplicar a fórmula da união de dois eventos e obter limites para P(B).

Passo 2

Da probabilidade contra A igual a 2 para 1 temos
P(A^c)P(A) = 21,
e como P(A)+P(A^c)=1, segue
P(A^c)=2P(A), P(A)+2P(A)=1 Rightarrow P(A)=tfrac13, P(A^c)=tfrac23
Da probabilidade a favor de Acup B igual a 3 para 1 temos
P(Acup B)Pl((Acup B)^cr)=31,
logo P(Acup B)=3l(1-P(Acup B)r) e daí
4,P(Acup B)=3 Rightarrow P(Acup B)=tfrac34

Passo 3

Pela fórmula da união
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B),
substituindo P(A)=tfrac13 e P(Acup B)=tfrac34 obtemos
tfrac34 = tfrac13 + P(B) - P(Acap B) Longrightarrow P(B) = tfrac34 - tfrac13 + P(Acap B) = tfrac512 + P(Acap B)

Passo 4

Como 0<= P(Acap B)<= P(A)=tfrac13, segue
tfrac512 <= P(B) <= tfrac512 + tfrac13 = tfrac512 + tfrac412 = tfrac34

Passo 5

Um exemplo que dá o mínimo P(B)=tfrac512 é tomar A e B disjuntos com P(A)=tfrac13 e P(B)=tfrac512, pois então P(Acup B)=tfrac13+tfrac512=tfrac34.
Um exemplo que dá o máximo P(B)=tfrac34 é tomar Bsupseteq A com P(A)=tfrac13 e P(B)=tfrac34, pois então P(Acup B)=P(B)=tfrac34.

Resposta

512<= P(B)<= 34
Exemplo para P(B)=tfrac512: A e B disjuntos com P(A)=tfrac13 e P(B)=tfrac512.
Exemplo para P(B)=tfrac34: Asubseteq B com P(A)=tfrac13 e P(B)=tfrac34.

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