Calcule lim n +infty an+1an e lim n +infty raiz[n]an
an=n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas limites envolvendo a sequência $ a_n = \frac{n!}{n^n} $. Esse exercício está ligado ao estudo de sequências e limites na matemática, mais especificamente ao cálculo de limites de razão e limites de raiz. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com fatoriais, potências e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $. Isso significa que vamos dividir o termo seguinte da sequência pelo termo atual e ver o que acontece quando $ n $ fica muito grande, tendendo ao infinito.

Passo 3

Vamos expressar $ a_{n+1} $ e $ a_n $:
an+1
an
Agora, vamos formar a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1

Passo 4

Simplificando a expressão, sabemos que $ (n+1)! = (n+1) \cdot n! $, então:
Cancelando $ n! $ e simplificando mais:
(n+1)! = (n+1) cdot n!

Passo 5

Agora, observamos que $ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n $. Sabemos que $ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e} $, onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.

Passo 6

Aplicando esse resultado:
limn to infty ( nn+1 )^n = 1e
E também:
limn to infty 1n+1 = 0
Portanto, multiplicando os dois limites:
limn to infty an+1an = 1e cdot 0 = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $. Isso significa que vamos tirar a raiz n-ésima do termo $ a_n $ e ver o que acontece quando $ n $ cresce sem limite.

Passo 8

Expressando $ \sqrt[n]{a_n} $:
raiz[n]an
Para simplificar, usamos a aproximação de Stirling para fatoriais, que diz que para grandes $ n $:
raiz[n]an = raiz[n]n!n^n = raiz[n]n!n
Então:
n

Passo 9

Observe que $ \sqrt[n]{\sqrt{2 \pi n}} = (2 \pi n)^{1/(2n)} $. Quando $ n $ tende ao infinito, $ (2 \pi n)^{1/(2n)} $ tende a 1, pois a exponencial $ \frac{1}{2n} $ faz com que qualquer número positivo elevado a ela se aproxime de 1.

Passo 10

Portanto:
raiz[n]an approx n e^-1 cdot 1n = e^-1 = 1e
Então, o limite é $ \frac{1}{e} $.

Resposta

lim n +infty an+1an = 0 e lim n +infty raiz[n]an = 1e

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