Calcule
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas duas limites envolvendo a sequência $ a_n = \frac{n!}{n^n} $. Esse exercício está ligado ao estudo de sequências e limites na matemática, mais especificamente ao cálculo de limites de razão e limites de raiz. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com fatoriais, potências e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $. Isso significa que vamos dividir o termo seguinte da sequência pelo termo atual e ver o que acontece quando $ n $ fica muito grande, tendendo ao infinito.
Passo 3
Vamos expressar $ a_{n+1} $ e $ a_n $:
Agora, vamos formar a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Passo 4
Simplificando a expressão, sabemos que $ (n+1)! = (n+1) \cdot n! $, então:
Cancelando $ n! $ e simplificando mais:
Passo 5
Agora, observamos que $ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n $. Sabemos que $ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e} $, onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.
Passo 6
Aplicando esse resultado:
E também:
Portanto, multiplicando os dois limites:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $. Isso significa que vamos tirar a raiz n-ésima do termo $ a_n $ e ver o que acontece quando $ n $ cresce sem limite.
Passo 8
Expressando $ \sqrt[n]{a_n} $:
Para simplificar, usamos a aproximação de Stirling para fatoriais, que diz que para grandes $ n $:
Então:
Passo 9
Observe que $ \sqrt[n]{\sqrt{2 \pi n}} = (2 \pi n)^{1/(2n)} $. Quando $ n $ tende ao infinito, $ (2 \pi n)^{1/(2n)} $ tende a 1, pois a exponencial $ \frac{1}{2n} $ faz com que qualquer número positivo elevado a ela se aproxime de 1.
Passo 10
Portanto:
Então, o limite é $ \frac{1}{e} $.